РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3356 Добавить в вариант

В усеченной пирамиде A₁B₁C₁ABC ребро AA₁ перпендикулярно плоскости большего основания ABC, AB  =  AC  =  5, BC  =  6 и $DD_1= дробь: числитель: 20, знаменатель: 7 конец дроби ,$ где D и D₁  — середины отрезков BC и B₁C₁соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар. Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.

Спрятать решение

Решение.

Продлим ребра усеченной пирамиды до пирамиды SABC (верхний рис.).

Обозначим $h=S A.$ Тогда шар, вписанный в усечённую пирамиду, также вписан и в пирамиду SABC. Поэтому

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби r умножить на S_полн. пов. \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Поскольку $S_\Delta ABC=12,$ то

$S_полн. пов.=S_\Delta SAB плюс S_\Delta SAC плюс S_\Delta SBC плюс S_\Delta ABC=5h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс h в квадрате конец аргумента плюс 12.$

Значит, равенство (1) равносильно

$12 h=r умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Из точки $D_1$ опустим перпендикуляр $D_1 E$ на плоскость основания ABC (нижний. рис.). Обозначим $альфа =\angle D_1 D A .$ Из $\Delta S D A$ следует, что

$синус альфа = дробь: числитель: h, знаменатель: корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

Тогда из $\Delta D_1 E D$ находим

$D_1 E=2 r= дробь: числитель: 20, знаменатель: 7 конец дроби синус альфа = дробь: числитель: 20 h, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби .$

Подставляя в (2) значение для r, получаем:

$12 h= дробь: числитель: 10 h, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 6= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно 42 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 15 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 60 равносильно$
$равносильно 27 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 60 равносильно 104 h в квадрате минус 3000 h плюс 8064=0 равносильно совокупность выражений h=3,h= дробь: числитель: 336, знаменатель: 13 конец дроби . конец совокупности .$ $12 h= дробь: числитель: 10 h, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 6= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 42 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 15 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 60 равносильно 27 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 60 равносильно$
$равносильно 104 h в квадрате минус 3000 h плюс 8064=0 равносильно совокупность выражений h=3,h= дробь: числитель: 336, знаменатель: 13 конец дроби . конец совокупности .$ $12 h= дробь: числитель: 10 h, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 6= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка 5 h плюс 3 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 12 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 42 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 15 умножить на корень из: начало аргумента: 4 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс h в квадрате правая круглая скобка плюс 60 равносильно$
$равносильно 27 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =25 h плюс 60 равносильно$
$равносильно 104 h в квадрате минус 3000 h плюс 8064=0 равносильно совокупность выражений h=3,h= дробь: числитель: 336, знаменатель: 13 конец дроби . конец совокупности .$

Используя равенство

$r= дробь: числитель: 10 h, знаменатель: 7 корень из: начало аргумента: h в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка конец дроби ,$

находим: $r_1= дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби$ или $r_2= дробь: числитель: 24, знаменатель: 17 конец дроби .$ Искомое произведение равно

$r_1 умножить на r_2= дробь: числитель: 144, знаменатель: 119 конец дроби =1,21.$

Ответ: 1,21.

Аналоги к заданию № 3356: 3357 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2016 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники, Геометрия: стереометрия. Сфера вписанная, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Помощь