РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 3712 Добавить в вариант

Найдите сумму действительных корней уравнения

$2 умножить на 4 в кубе в степени x – a умножить на 4 в квадрате в степени x – 4 левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка умножить на 4 в степени x плюс 32 = 0.$

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $t=4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ а так как $x принадлежит R ,$ то $t больше 0.$ Получаем следующее уравнение

$2 t в кубе минус a t в квадрате минус 4 левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка t плюс 32=0.$

Очевидно, что число $t_1= минус 4$ является корнем уравнения и соответствующее ему x₁ не действительное. Получаем

$левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 8 правая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка =0.$

Параметр а был подобран таким образом, чтобы оставшиеся два корня t₂ и t₃ были действительными и строго больше нуля. Но тогда, используя теорему Виета, получаем

$4 в степени левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка плюс x_3=t_2 умножить на t_3= дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби =4.$

Следовательно, $x_2 плюс x_3=1.$

Ответ: $x_2 плюс x_3=1.$

Ответ:

x_{2}+x_{3}=1.

Аналоги к заданию № 3708: 3712 Все

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2017 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения показательные, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь