Для крат­ко­сти ко­ман­ду влево будем обо­зна­чать Л, впра­во – П, вверх – В, вниз – Н. Чтобы робот вер­нул­ся в ис­ход­ное по­ло­же­ние, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы ему было от­да­но ко­манд Л столь­ко же, сколь­ко и ко­манд П, а ко­манд В – столь­ко же, сколь­ко и Н. Пусть k – ко­ли­че­ство ко­манд Л в по­сле­до­ва­тель­но­сти. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство N_k ис­ко­мых по­сле­до­ва­тель­но­стей для k от 0 до 4.

 ·  По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит толь­ко из ко­манд В и Н. Так как их по­ров­ну, то на 4 ме­стах из 8 долж­на быть ко­ман­да В, а на остав­ших­ся двух – Н. Вы­брать 4 места из 8 можно спо­со­ба­ми. Сле­до­ва­тель­но,

 ·  По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из одной ко­ман­ды Л, одной П, а также трех В и трех Н. Раз­ме­стить две ко­ман­ды Л и П на 8 по­зи­ци­ях можно спо­со­ба­ми: – число спо­со­бов во­об­ще вы­брать 2 по­зи­ции из 8, – число спо­со­бов раз­ме­стить на этих двух по­зи­ци­ях ко­ман­ды Л и П. На остав­ших­ся 6 по­зи­ци­ях сле­ду­ет раз­ме­стить 3 ко­ман­ды В, что можно сде­лать спо­со­ба­ми. По­это­му

 ·  Здесь две Л, две П а также по 2 ко­ман­ды В и Н. Для Л и П имеем ва­ри­ан­тов раз­ме­ще­ния. На остав­ших­ся 4 по­зи­ци­ях раз­ме­стить 2 ко­ман­ды В можно спо­со­ба­ми. Зна­чит,

Рас­суж­дая ана­ло­гич­ным об­ра­зом, можно по­ка­зать, что и Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число по­сле­до­ва­тель­но­стей равно

Ответ: 4900.