РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 393 Добавить в вариант

Найдите сумму всех кратных трем натуральных чисел n, у которых число делителей (включая 1 и само n) равно $дробь: числитель: n, знаменатель: 3 конец дроби .$ (Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)

Спрятать решение

Решение.

Пусть каноническое разложение числа n имеет вид:

$n=2 в степени левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка t_2 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка t_3 правая круглая скобка умножить на ... умножить на p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка .$

Тогда количество делителей числа n равно:

$левая круглая скобка t_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_2 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_3 плюс 1 правая круглая скобка умножить на ... умножить на левая круглая скобка t_k плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка t_2 минус 1 правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка t_3 правая круглая скобка умножить на ... умножить на p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Заметим, что $2 в степени левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка t_2 минус 1 правая круглая скобка больше левая круглая скобка t_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t_2 плюс 1 правая круглая скобка$ при $t_1 больше или равно 4$ и $t_2\geqslant3,...,$ $p в степени левая круглая скобка t_k правая круглая скобка больше t_k плюс 1$ при $t_k\geqslant1.$

Следовательно, $t_1$ может принимать значения 0, 1, 2 или 3 и $t_2$ может принимать значения 1 или 2. Подставляя указанные значения в равенство $левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ найдем, что $n=9,n=18$ или $n=24.$

Ответ: 51.

Аналоги к заданию № 388: 393 Все

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. Количество делителей

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь