сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те сумму всех крат­ных трем на­ту­раль­ных чисел n, у ко­то­рых число де­ли­те­лей (вклю­чая 1 и само n) равно  дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . (На­при­мер, число 12 имеет 6 де­ли­те­лей: 1,2,3,4,6,12.)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ка­но­ни­че­ское раз­ло­же­ние числа n имеет вид:

n=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ... умно­жить на p в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_k пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда ко­ли­че­ство де­ли­те­лей числа n равно:

 левая круг­лая скоб­ка t_1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t_2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t_3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ... умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t_k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ... умно­жить на p в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

За­ме­тим, что 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше левая круг­лая скоб­ка t_1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t_2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка при t_1 боль­ше или равно 4 и t_2\geqslant3,..., p в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка t_k пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше t_k плюс 1 при t_k\geqslant1.

Сле­до­ва­тель­но, t_1 может при­ни­мать зна­че­ния 0, 1, 2 или 3 и t_2 может при­ни­мать зна­че­ния 1 или 2. Под­став­ляя ука­зан­ные зна­че­ния в ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка , най­дем, что n=9,n=18 или n=24.

 

Ответ: 51.


Аналоги к заданию № 388: 393 Все