РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4301 Добавить в вариант

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.

Спрятать решение

Решение.

Количество $\tau левая круглая скобка n правая круглая скобка$ различных натуральных делителей числа n, допускающего разложение на простые множители

$n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

(здесь $альфа _1, альфа _2, \ldots, альфа _k больше или равно 1 правая круглая скобка ,$ выражается формулой

$\tau левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка альфа _2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка альфа _k плюс 1 правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

В самом деле, любой делитель числа n имеет вид $p_1 в степени левая круглая скобка бета _1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка бета _2 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на p_k в степени левая круглая скобка бета _k правая круглая скобка ,$ где $0 меньше или равно бета _i меньше или равно альфа _i,$ $i=1, \ldots, k;$ при этом каждый показатель $бета _i$ можно выбрать $альфа _i плюс 1$ способом (от 0 до $альфа _i правая круглая скобка .$ Таким образом, требуется найти наименьшее число n вида (1), для которого

$левая круглая скобка альфа _1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка альфа _2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка альфа _k плюс 1 правая круглая скобка =2020=2 в квадрате умножить на 5 умножить на 101 ,$

то есть определить соответствующие показатели $альфа _1, \ldots, альфа _k$ и простые множители $p_1, \ldots, p_k.$

Покажем, что искомым числом является число $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7.$

Можно считать (перенумеровав при необходимости простые множители), что показатели в разложении (1) упорядочены по невозрастанию: $альфа _1 больше или равно альфа _2 больше или равно \ldots больше или равно альфа _k.$ Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида (1) наименьшим является число, у которого $p_1, p_2, \ldots, p_k$ это первые k простых чисел, взятые в порядке увеличения (см. замечание). Действительно, если $p_i больше p_j,$ $альфа _i больше альфа _j,$ то $p_i в степени левая круглая скобка альфа _i правая круглая скобка p_j в степени левая круглая скобка альфа _j правая круглая скобка больше p_j в степени левая круглая скобка альфа _i правая круглая скобка p_i в степени левая круглая скобка альфа _j правая круглая скобка$ (поскольку $p_i в степени левая круглая скобка альфа _i правая круглая скобка минус альфа _j больше p_j в степени левая круглая скобка альфа _i правая круглая скобка минус альфа _j правая круглая скобка ,$ и перестановка множителей $p_i$ и $p_j$ позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители. Далее, заметим, что число 10 как иначе $альфа _1 плюс 1 больше или равно 101 умножить на 2$ и так как иначе $альфа _1 плюс 1 больше или равно 101 умножить на 2$ и

$p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка больше или равно 2 в степени левая круглая скобка 201 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7 .$

Остается перебрать возможные разложения числа 2020 с отдельным множителем 101:

$101 умножить на 20,$ $\quad 101 умножить на 10 умножить на 2,$ $\quad 101 умножить на 5 умножить на 4,$ $\quad 101 умножить на 5 умножить на 2 умножить на 2$

и сравнить между собой числа

$2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка ,$ $\quad 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 5,$ $\quad 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в кубе ,$ $\quad 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7 .$

Замечание. С учетом случая, когда несколько показателей равны между собой и соответствующие множители можно менять местами.

Ответ: $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7.$

Аналоги к заданию № 4301: 4302 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 6, 7, 8, 10, 5, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Количество делителей, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь