сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те раз­ло­же­ние на про­стые мно­жи­те­ли наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го числа, име­ю­ще­го ровно 2020 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство \tau левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа n, до­пус­ка­ю­ще­го раз­ло­же­ние на про­стые мно­жи­те­ли

 n=p_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _1 пра­вая круг­лая скоб­ка p_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на p_k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _k пра­вая круг­лая скоб­ка \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

(здесь  альфа _1, альфа _2, \ldots, альфа _k боль­ше или равно 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

 \tau левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка альфа _1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка альфа _2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на левая круг­лая скоб­ка альфа _k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

В самом деле, любой де­ли­тель числа n имеет вид p_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета _1 пра­вая круг­лая скоб­ка p_2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета _2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на p_k в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета _k пра­вая круг­лая скоб­ка , где 0 мень­ше или равно бета _i мень­ше или равно альфа _i, i=1, \ldots, k; при этом каж­дый по­ка­за­тель  бета _i можно вы­брать  альфа _i плюс 1 спо­со­бом (от 0 до  альфа _i пра­вая круг­лая скоб­ка . Таким об­ра­зом, тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее число n вида (1), для ко­то­ро­го

 левая круг­лая скоб­ка альфа _1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка альфа _2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \ldots умно­жить на левая круг­лая скоб­ка альфа _k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2020=2 в квад­ра­те умно­жить на 5 умно­жить на 101 ,

то есть опре­де­лить со­от­вет­ству­ю­щие по­ка­за­те­ли  альфа _1, \ldots, альфа _k и про­стые мно­жи­те­ли p_1, \ldots, p_k.

По­ка­жем, что ис­ко­мым чис­лом яв­ля­ет­ся число 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 умно­жить на 7.

Можно счи­тать (пе­ре­ну­ме­ро­вав при не­об­хо­ди­мо­сти про­стые мно­жи­те­ли), что по­ка­за­те­ли в раз­ло­же­нии (1) упо­ря­до­че­ны по не­воз­рас­та­нию:  альфа _1 боль­ше или равно альфа _2 боль­ше или равно \ldots боль­ше или равно альфа _k. Кроме того, не­слож­но ви­деть, что для фик­си­ро­ван­но­го (упо­ря­до­чен­но­го по не­воз­рас­та­нию) на­бо­ра по­ка­за­те­лей среди всех чисел вида (1) наи­мень­шим яв­ля­ет­ся число, у ко­то­ро­го p_1, p_2, \ldots, p_k это пер­вые k про­стых чисел, взя­тые в по­ряд­ке уве­ли­че­ния (см. за­ме­ча­ние). Дей­стви­тель­но, если p_i боль­ше p_j,  альфа _i боль­ше альфа _j, то p_i в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _i пра­вая круг­лая скоб­ка p_j в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _j пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше p_j в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _i пра­вая круг­лая скоб­ка p_i в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _j пра­вая круг­лая скоб­ка (по­сколь­ку p_i в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _i пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа _j боль­ше p_j в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _i пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа _j пра­вая круг­лая скоб­ка , и пе­ре­ста­нов­ка мно­жи­те­лей p_i и p_j поз­во­ля­ет умень­шить ис­ко­мое число. При этом, оче­вид­но, долж­ны быть за­дей­ство­ва­ны все наи­мень­шие про­стые мно­жи­те­ли. Далее, за­ме­тим, что число 10 как иначе  альфа _1 плюс 1 боль­ше или равно 101 умно­жить на 2 и так как иначе  альфа _1 плюс 1 боль­ше или равно 101 умно­жить на 2 и

 p_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа _1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 201 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 умно­жить на 7 .

Оста­ет­ся пе­ре­брать воз­мож­ные раз­ло­же­ния числа 2020 с от­дель­ным мно­жи­те­лем 101:

 101 умно­жить на 20, \quad 101 умно­жить на 10 умно­жить на 2,  \quad 101 умно­жить на 5 умно­жить на 4, \quad 101 умно­жить на 5 умно­жить на 2 умно­жить на 2

и срав­нить между собой числа

 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 19 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \quad 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5,  \quad 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 в кубе ,  \quad 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 умно­жить на 7 .

За­ме­ча­ние. С уче­том слу­чая, когда не­сколь­ко по­ка­за­те­лей равны между собой и со­от­вет­ству­ю­щие мно­жи­те­ли можно ме­нять ме­ста­ми.

 

Ответ: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 5 умно­жить на 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:


Аналоги к заданию № 4301: 4302 Все