РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4549 Добавить в вариант

Дан многочлен

$F левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 плюс 2x плюс 3x в квадрате плюс 4x в кубе плюс ... плюс 100x в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка .$

Можно ли, переставив коэффициенты в нем, получить многочлен

$G левая круглая скобка x правая круглая скобка =g_0 плюс g_1x плюс g_2x в квадрате плюс g_3x в кубе плюс ... плюс g_99x в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка$

такой, что для всех натуральных чисел $k больше или равно 2$ разность F(k) − G(k) не кратна 100?

Спрятать решение

Решение.

Предположим противное и пусть такой многочлен G(x) существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если H(x)  — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых a и b число $H левая круглая скобка a правая круглая скобка минус H левая круглая скобка b правая круглая скобка$ делится на a – b. Тогда числа $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ и $G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ делятся на 100, а тогда на 100 делится и их разность:

$левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Осталось заметить, что $F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 плюс 2 плюс \ldots плюс 100=G левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ то есть $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка$ делится на 100. Противоречие.

Ответ: нет, нельзя.

Приведем другое решение.

Предположим противное. Будем писать сравнения по модулю 100. Тогда

$F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка =1 плюс 2 умножить на 101 плюс 3 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =$
$=g_0 плюс g_1 плюс \ldots плюс g_99 \equiv g_0 плюс g_1 умножить на 101 плюс g_2 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс g_99 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка ,$ $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка =$
$=1 плюс 2 умножить на 101 плюс 3 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =$
$=g_0 плюс g_1 плюс \ldots плюс g_99 \equiv g_0 плюс g_1 умножить на 101 плюс g_2 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс g_99 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка ,$ $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка =$
$=1 плюс 2 умножить на 101 плюс 3 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 100 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =$
$=g_0 плюс g_1 плюс \ldots плюс g_99 \equiv g_0 плюс g_1 умножить на 101 плюс g_2 умножить на 101 в квадрате плюс \ldots плюс g_99 умножить на 101 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =$
$=G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка ,$

откуда $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка \equiv G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка ,$ то есть $F левая круглая скобка 101 правая круглая скобка минус G левая круглая скобка 101 правая круглая скобка$ делится на 100. Противоречие.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4549: 4559 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь