РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4559 Добавить в вариант

Дан многочлен $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =1 плюс 2x плюс 3x в квадрате плюс 4x в кубе плюс ... плюс 101x в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$ Можно ли, переставив коэффициенты в нем, получить многочлен $G левая круглая скобка x правая круглая скобка =g_0 плюс g_1x плюс g_2x в квадрате плюс g_3x в кубе плюс ... плюс g_100x в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка$ такой, что для всех натуральных чисел $k больше или равно 2$ разность F(k) − G(k) не кратна 2020?

Спрятать решение

Решение.

Предположим противное и пусть такой многочлен Q(x) существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если H(x)  — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых а и b число $H левая круглая скобка a правая круглая скобка минус H левая круглая скобка b правая круглая скобка$ делится на a – b. Тогда числа $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ и $Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$ делятся на 2020, а тогда на 2020 делится и их разность:

$левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка правая круглая скобка минус левая круглая скобка P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Осталось заметить, что

$P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 плюс 2 плюс \ldots плюс 101=Q левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$

то есть $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка$ делится на 2020. Противоречие.

Ответ: нет, нельзя.

Приведем другое решение.

Предположим противное. Будем писать сравнения по модулю 2020. Тогда

$P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка =1 плюс 2 умножить на 2021 плюс 3 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =$
$=q_0 плюс q_1 плюс \ldots плюс q_100 \equiv q_0 плюс q_1 умножить на 2021 плюс q_2 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс q_100 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка ,$ $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка =$
$=1 плюс 2 умножить на 2021 плюс 3 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =$
$=q_0 плюс q_1 плюс \ldots плюс q_100 \equiv q_0 плюс q_1 умножить на 2021 плюс q_2 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс q_100 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка ,$ $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка =$
$=1 плюс 2 умножить на 2021 плюс 3 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка \equiv 1 плюс 2 умножить на 1 плюс 3 умножить на 1 в квадрате плюс \ldots плюс 101 умножить на 1 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =$
$=q_0 плюс q_1 плюс \ldots плюс q_100 \equiv q_0 плюс q_1 умножить на 2021 плюс q_2 умножить на 2021 в квадрате плюс \ldots плюс q_100 умножить на 2021 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =$
$=Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка ,$

откуда $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка \equiv Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка ,$ то есть $P левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка минус Q левая круглая скобка 2021 правая круглая скобка$ делится на 2020. Противоречие.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4549: 4559 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь