РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4556 Добавить в вариант

Про тетраэдр PQRS известно, что PQ  =  4, SR  =  6, $\angle QRS = \angle PSR =50 градусов,$ $\angle QSR = \angle PRS = 40 градусов.$ Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек P, Q, R, S не меньше $6 Пи .$ Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере  — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.

Спрятать решение

Решение.

Так как

$\angle Q R S плюс \angle Q S R=\angle P R S плюс \angle P S R=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

то треугольники QRS и PRS  — прямоугольные с общей гипотенузой RS. Если O  — середина отрезка RS, то по свойству медианы прямоугольного треугольника, $O P=O Q=O R=O S=3.$ Следовательно, радиус описанной сферы равен 3, а точка O  — её центр.

Обозначим через $d левая круглая скобка X, Y правая круглая скобка$ сферическое расстояние между точками X и Y. По условию задачи необходимо найти площадь множества $\omega$ на сфере, состоящего в точности из точек M, для которых

$d левая круглая скобка M, P правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Q правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, R правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, S правая круглая скобка больше или равно 6 Пи . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Поскольку RS  — диаметр сферы, то точки R, M и S лежат на одной окружности большого круга: следовательно,

$d левая круглая скобка R, M правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, S правая круглая скобка =d левая круглая скобка R, S правая круглая скобка =3 Пи .$

Неравенство (1) перепишется в виде

$d левая круглая скобка M, P правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Q правая круглая скобка больше или равно 3 Пи . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Пусть Q₁  — точка, симметричная точке Q относительно центра сферы О. Так как Q₁ и Q  — концы диаметра сферы, то

$d левая круглая скобка Q, M правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Q_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка Q, Q_1 правая круглая скобка =3 Пи .$

Подставляя $d левая круглая скобка M, Q правая круглая скобка =3 Пи минус d левая круглая скобка M, Q_1 правая круглая скобка$ в неравенство (2), получаем

$d левая круглая скобка M, P правая круглая скобка больше или равно d левая круглая скобка M, Q_1 правая круглая скобка .$

Так как $P Q=4 не равно q 6,$ то PQ не является диаметром, а потому $Q_1 не равно q P.$ Итак, ω есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстоянии до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку Q₁P), ω — половина сферы и её площадь равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на Пи умножить на 3 в квадрате =18 Пи .$

Ответ: $18 Пи ,$ т. е. половина площади сферы радиуса 3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4556: 4580 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Экстремальные задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь