РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4580 Добавить в вариант

Про тетраэдр XYZT известно, что XY = 6, TZ = 8, $\angle YZT = \angle XTZ =25 градусов,$ $\angle YTZ = \angle XZT = 65 градусов.$ Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек X, Y, Z, T не меньше $8 Пи .$ Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере  — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.

Спрятать решение

Решение.

Так как

$\angle Y Z T плюс \angle Y T Z=\angle X Z T плюс \angle X T Z=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

то треугольники YZT и XZT  — прямоугольные с общей гипотенузой ZT. Если O  — середина отрезка ZT, то по свойству медианы прямоугольного треугольника, $O X=O Y=O Z=O T=4.$ Следовательно, радиус описанной сферы равен 4, а точка $O минус$ её центр.

Обозначим через $d левая круглая скобка X, Y правая круглая скобка$ сферическое расстояние между точками X и Y. По условию задачи необходимо найти площадь множества ω на сфере, состоящего в точности из точек M, для которых

$d левая круглая скобка M, X правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Y правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Z правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, T правая круглая скобка больше или равно 8 Пи . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Поскольку ZT  — диаметр сферы, то точки Z, M и T лежат на одной окружности большого круга: следовательно,

$d левая круглая скобка Z, M правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, T правая круглая скобка =d левая круглая скобка Z, T правая круглая скобка =4 Пи .$

Неравенство (1) перепишется в виде

$d левая круглая скобка M, X правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Y правая круглая скобка больше или равно 4 Пи . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Пусть Y₁  — точка, симметричная точке Y относительно центра сферы О. Так как Y₁ и Y  — концы диаметра сферы, то

$d левая круглая скобка Y, M правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка M, Y_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка Y, Y_1 правая круглая скобка =4 Пи .$

Подставляя

$d левая круглая скобка M, Y правая круглая скобка =4 Пи минус d левая круглая скобка M, Y_1 правая круглая скобка$

в неравенство (2), получаем

$d левая круглая скобка M, X правая круглая скобка больше или равно d левая круглая скобка M, Y_1 правая круглая скобка .$

Так как $X Y=6 не равно q 8,$ то XY не является диаметром, а потому $Y_1 не равно q X.$ Итак, $\omega$ есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстоянии до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку Y₁X), ω половина сферы и её площадь равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на Пи умножить на 4 в квадрате =32 Пи .$

Ответ: 32π, т. е. половина площади сферы радиуса 4.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4556: 4580 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Экстремальные задачи

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь