За­ме­тим, что по­это­му для до­ка­за­тель­ства не­ра­вен­ства до­ста­точ­но про­ве­рить, что функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке [0; 1]. Для этого до­ка­жем, что её про­из­вод­ная на этом про­ме­жут­ке не­от­ри­ца­тель­на. Это можно сде­лать двумя спо­со­ба­ми.

Спо­соб I. Под­ста­нов­ка. По­лу­ча­ем

по­сколь­ку как сле­ду­ет из усло­вия, не­от­ри­ца­тель­но.

Спо­соб II. Не­ра­вен­ство о сред­них. Имеем:

где не­ра­вен­ство сле­ду­ет из не­ра­вен­ства о сред­них для трёх чисел, а по­след­нее ра­вен­ство  — из усло­вия.