Про функции s(x) и t(x) известно, что s(0) = t(0) > 0 и для любого Докажите, что если то
Решение.
Заметим, что поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.
Способ I. Подстановка. Найдем:
поскольку как следует из условия, неотрицательно.
Способ II. Неравенство о средних. Получаем
где неравенство следует из неравенств о о средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.
Критерии проверки:
Критерии оценивания
Балл
Верное решение без существенных недочетов
+
В целом задача решена, хотя и с недочетами
+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение
− +
Задача не решена, заметных продвижений нет
для любого 
Докажите, что если 
то 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами. 
как следует из условия, неотрицательно. 