Обо­зна­чим Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния меди ан тре­уголь­ни­ка ABC. Пред­ста­вим

тогда

По­сколь­ку G  — центр тя­же­сти тре­уголь­ни­ка ABC, то

и

Таким об­ра­зом,

или

Итак, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек X, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­став­лен­но­му усло­вию, яв­ля­ет­ся круг ра­ди­у­са

с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC.

Этот круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, если его ра­ди­ус не боль­ше, чем одна треть наи­мень­шей из высот тре­уголь­ни­ка ABC:

Зна­чит, при вы­пол­не­нии усло­вия

ис­ко­мая пло­щадь равна

По фор­му­ле Ге­ро­на най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

Вы­чис­лим

По­сколь­ку усло­вие (*) вы­пол­ня­ет­ся:

Зна­чит, ответ:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к сто­ро­не длины 4, равна 4. Ос­но­ва­ние вы­со­ты делит эту сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 1 и 3. Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда Тогда

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство так:

Оно опре­де­ля­ет круг ра­ди­у­са с цен­тром в точке По­ка­жем, что все точки этого круга при­над­ле­жат тре­уголь­ни­ку ABC. Для этого най­дем рас­сто­я­ния от точки K до сто­рон тре­уголь­ни­ка. Урав­не­ние сто­ро­ны AB: рас­сто­я­ние до неё равно

Урав­не­ние сто­ро­ны BC: рас­сто­я­ние

И paccто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AC равно, оче­вид­но, Наи­мень­шее из рас­сто­я­ний d₂, тем не менее, боль­ше, чем ра­ди­ус круга R: По­это­му весь круг и яв­ля­ет­ся той фи­гу­рой, пло­щадь ко­то­рой тре­бу­ет­ся найти, от­ку­да