Обо­зна­чим

Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ. Пред­ста­вим

тогда

По­сколь­ку G  — центр тя­же­сти тре­уголь­ни­ка XYZ, то и

Таким об­ра­зом,

или

Итак, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек A, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­став­лен­но­му усло­вию, яв­ля­ет­ся круг ра­ди­у­са

с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ.

Этот круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, если его ра­ди­ус не боль­ше, чем одна треть наи­мень­шей из высот тре­уголь­ни­ка XYZ:

Зна­чит, при вы­пол­не­нии усло­вия

ис­ко­мая пло­щадь равна

По фор­му­ле Ге­ро­на най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

Вы­чис­лим

По­сколь­ку усло­вие (*) вы­пол­ня­ет­ся:

Зна­чит, ответ:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­нии.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к сто­ро­не длины равна 1. Ос­но­ва­ние вы­со­ты делит эту сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные и Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда Зна­чит,

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство так:

Оно опре­де­ля­ет круг ра­ди­у­са с цен­тром в точке По­ка­жем, что все точки этого круга при­над­ле­жат тре­уголь­ни­ку XYZ. Для этого най­дем рас­сто­я­ния от точки K до сто­рон тре­уголь­ни­ка. Урав­не­ние сто­ро­ны XY: рас­сто­я­ние до нее равно

Урав­не­ние сто­ро­ны YZ: paccтоние

Paccто­я­ние от точки K до сто­ро­ны XZ, оче­вид­но, яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из трех и равно По­это­му круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, от­сю­да ис­ко­мая пло­щадь равна