сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тре­уголь­ни­ке XYZ длины сто­рон равны 2, 7 и 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, со­сто­я­щей из тех и толь­ко тех точек A внут­ри тре­уголь­ни­ка XYZ, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся усло­вие AX в квад­ра­те плюс AY в квад­ра­те плюс AZ в квад­ра­те мень­ше или равно 43.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим Y Z=a,  X Z=b,  X Y=c,  \rho в квад­ра­те =43.

Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ. Пред­ста­вим

 \overrightarrowA X=\overrightarrowG X минус \overrightarrowG A, \overrightarrowA Y=\overrightarrowG Y минус \overrightarrowG A, \overrightarrowA Z=\overrightarrowG Z минус \overrightarrowG A,

тогда

 A X в квад­ра­те плюс A Y в квад­ра­те плюс A Z в квад­ра­те =G X в квад­ра­те плюс G Y в квад­ра­те плюс G Z в квад­ра­те минус 2 умно­жить на \overrightarrowG A умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \overrightarrowG X плюс \overrightarrowG Y плюс \overrightarrowG Z пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на G A в квад­ра­те .

По­сколь­ку G  — центр тя­же­сти тре­уголь­ни­ка XYZ, то  \overrightarrowG X плюс \overrightarrowG Y плюс \overrightarrowG Z=0 и

G X в квад­ра­те плюс G Y в квад­ра­те плюс G Z в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби левая круг­лая скоб­ка m_a в квад­ра­те плюс m_b в квад­ра­те плюс m_c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом,

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на G A в квад­ра­те мень­ше или равно \rho в квад­ра­те ,

или

 G A в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 \rho в квад­ра­те минус a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек A, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­став­лен­но­му усло­вию, яв­ля­ет­ся круг ра­ди­у­са

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 \rho в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка

с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ.

Этот круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, если его ра­ди­ус не боль­ше, чем одна треть наи­мень­шей из высот тре­уголь­ни­ка XYZ:

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 \rho в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 S_\Delta X Y Z, зна­ме­на­тель: 3 \max левая фи­гур­ная скоб­ка a, b, c пра­вая фи­гур­ная скоб­ка конец дроби .

Зна­чит, при вы­пол­не­нии усло­вия

 дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше \rho в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: S_\Delta X Y Z, зна­ме­на­тель: \max левая фи­гур­ная скоб­ка a, b, c пра­вая фи­гур­ная скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

ис­ко­мая пло­щадь равна

S= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 \rho в квад­ра­те минус a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус c в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

По фор­му­ле Ге­ро­на най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

 S_\triangle X Y Z= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 9 плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вы­чис­лим

 дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: S_\triangle X Y Z, зна­ме­на­тель: \max левая фи­гур­ная скоб­ка a, b, c пра­вая фи­гур­ная скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку \rho в квад­ра­те =43, усло­вие (*) вы­пол­ня­ет­ся:

 дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 43 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =43.

Зна­чит, ответ: S= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 129 минус 128 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­нии.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к сто­ро­не длины 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , равна 1. Ос­но­ва­ние вы­со­ты делит эту сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда X левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  Y левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  Z левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит,

A X в квад­ра­те плюс A Y в квад­ра­те плюс A Z в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =
=3 x в квад­ра­те плюс 3 y в квад­ра­те минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x минус 2 y плюс 52 мень­ше или равно 43 .

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство так:

 левая круг­лая скоб­ка x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Оно опре­де­ля­ет круг ра­ди­у­са R= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби с цен­тром в точке K левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . По­ка­жем, что все точки этого круга при­над­ле­жат тре­уголь­ни­ку XYZ. Для этого най­дем рас­сто­я­ния от точки K до сто­рон тре­уголь­ни­ка. Урав­не­ние сто­ро­ны XY: x минус y ко­рень из 3 плюс ко­рень из 3 , рас­сто­я­ние до нее равно

d_1= дробь: чис­ли­тель: | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Урав­не­ние сто­ро­ны YZ: x плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0, paccтоние

d_2= дробь: чис­ли­тель: | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 21 конец дроби .

Paccто­я­ние от точки K до сто­ро­ны XZ, оче­вид­но, яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из трех и равно d_3= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =R. По­это­му круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, от­сю­да ис­ко­мая пло­щадь равна S= Пи R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 4601: 4602 Все