сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Фе­де­ра­ция спор­тив­ной борь­бы при­сво­и­ла каж­до­му участ­ни­ку со­рев­но­ва­ния ква­ли­фи­ка­ци­он­ный номер. Из­вест­но, что во встре­чах бор­цов, ква­ли­фи­ка­ци­он­ные но­ме­ра ко­то­рых от­ли­ча­ют­ся более, чем на 2 но­ме­ра, все­гда по­беж­да­ет борец с мень­шим но­ме­ром. Тур­нир для 256 бор­цов про­во­дит­ся по олим­пий­ской си­сте­ме: в на­ча­ле каж­до­го дня бойцы раз­би­ва­ют­ся на пары, про­иг­рав­ший вы­бы­ва­ет из со­рев­но­ва­ний (ни­чьих не бы­ва­ет). Какой наи­боль­ший ква­ли­фи­ка­ци­он­ный номер может иметь по­бе­ди­тель?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что борец с но­ме­ром k может про­иг­рать толь­ко борцу с но­ме­ром k плюс 1 или k плюс 2, по­это­му после каж­до­го тура наи­мень­ший номер не может уве­ли­чить­ся боль­ше, чем на 2 но­ме­ра. На тур­ни­ре с 256 участ­ни­ка­ми 8 туров, сле­до­ва­тель­но, номер по­бе­ди­те­ля тур­ни­ра не пре­вос­хо­дит 1 плюс 2 умно­жить на 8=17.

Пред­по­ло­жим, что борец с но­ме­ром 17 может по­бе­дить. Тогда в пер­вом туре долж­ны вы­быть борцы с но­ме­ра­ми 1 и 2. Это воз­мож­но толь­ко если борец с но­ме­ром 1 про­иг­рал борцу с но­ме­ром 3, а борец с но­ме­ром 2 про­иг­рал борцу с но­ме­ром 4. Зна­чит, после пер­во­го тура борцы с но­ме­ра­ми 3 и 4 оста­нут­ся. Ана­ло­гич­но, после вто­ро­го тура оста­нут­ся борцы с но­ме­ра­ми 5 и 6, после тре­тье­го −7 и 8, \ldots, после седь­мо­го  — 15 и 16. Зна­чит, в по­след­нем, фи­наль­ном, бою встре­тят­ся борцы с но­ме­ра­ми 15 и 16. Про­ти­во­ре­чие с пред­по­ло­же­ни­ем, что борец с но­ме­ром 17 может по­бе­дить.

По­ка­жем, что борец с но­ме­ром 16 может по­бе­дить. Назовём бор­цов с но­ме­ра­ми боль­ши­ми 16 сла­бы­ми. Пусть в туре с но­ме­ром k мень­ше или равно 7 борец с но­ме­ром 2 k минус 1 про­иг­ра­ет борцу с но­ме­ром 2 k плюс 1, борец с но­ме­ром 2 k про­иг­ра­ет борцу с но­ме­ром 2 k плюс 2, борцы с но­ме­ра­ми 2 k плюс 3, \ldots, 16 по­бе­дят оста­нут­ся борцы с но­ме­ра­ми 15 и 16, и в фи­наль­ном бое борец с но­ме­ром 16 по­бе­дит.

 

Ответ: 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

По ре­зуль­та­там про­вер­ки каж­до­го за­да­ния вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок (пе­ре­чис­ле­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния):

«+»  — за­да­ча ре­ше­на пол­но­стью;

«±»  — за­да­ча ре­ше­на с не­до­че­та­ми, не вли­я­ю­щи­ми на общий ход ре­ше­ния;

«∓»  — за­да­ча не ре­ше­на (на­при­мер, в ре­ше­нии со­дер­жат­ся гру­бые ошиб­ки), но име­ют­ся со­дер­жа­тель­ные про­дви­же­ния;

«–»  — за­да­ча не ре­ше­на;

за за­да­чу, к ре­ше­нию ко­то­рой участ­ник не при­сту­пал, ста­вит­ся оцен­ка «0».

При под­ве­де­нии ито­гов учи­ты­ва­ет­ся толь­ко ко­ли­че­ство в целом ре­шен­ных задач  — задач, за ко­то­рые по­став­ле­на оцен­ка «+» или «±».

 

Ком­мен­та­рий по оце­ни­ва­нию дан­ной за­да­чи.

Име­лось в виду, что но­ме­ра участ­ни­ков  — это по­сле­до­ва­тель­ные на­ту­раль­ные числа от 1 до ко­ли­че­ства участ­ни­ков.

Не до­ка­за­но, что номер боль­ше при­ве­ден­но­го быть не мог (на­при­мер, утвер­жда­ет­ся, но не до­ка­за­но, что какой-то спо­соб дей­ствий «оче­вид­но яв­ля­ет­ся оп­ти­маль­ным», «ло­гич­но дей­ство­вать имен­но так» и т. п.)  — не выше «∓».


Аналоги к заданию № 4928: 4930 4931 4929 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024