За­ме­тим, что борец с но­ме­ром k может про­иг­рать толь­ко борцу с но­ме­ром или по­это­му после каж­до­го тура наи­мень­ший номер не может уве­ли­чить­ся боль­ше, чем на 2 но­ме­ра. На тур­ни­ре с 512 участ­ни­ка­ми 9 туров, сле­до­ва­тель­но, номер по­бе­ди­те­ля тур­ни­ра не пре­вос­хо­дит

Пред­по­ло­жим, что борец с но­ме­ром 19 может по­бе­дить. Тогда в пер­вом туре долж­ны вы­быть борцы с но­ме­ра­ми 1 и 2. Это воз­мож­но толь­ко если борец с но­ме­ром 1 про­иг­рал борцу с но­ме­ром 3, а борец с но­ме­ром 2 про­иг­рал борцу с но­ме­ром 4. Зна­чит, после пер­во­го тура борцы с но­ме­ра­ми 3 и 4 оста­нут­ся. Ана­ло­гич­но, после вто­ро­го тура оста­нут­ся борцы с но­ме­ра­ми 5 и 6, после тре­тье­го −7 и после вось­мо­го −17 и 18. Зна­чит, в по­след­нем, фи­наль­ном, бою встре­тят­ся борцы с но­ме­ра­ми 17 и 18. Про­ти­во­ре­чие с пред­по­ло­же­ни­ем, что борец с но­ме­ром 19 может по­бе­дить.

По­ка­жем, что борец с но­ме­ром 18 может по­бе­дить. Назовём бор­цов с но­ме­ра­ми боль­ши­ми 18 сла­бы­ми. Пусть в туре с но­ме­ром борец с но­ме­ром про­иг­ра­ет борцу с но­ме­ром борец с но­ме­ром про­иг­ра­ет борцу с но­ме­ром борцы с но­ме­ра­ми по­бе­дят каких-то сла­бых бор­цов, остав­ши­е­ся сла­бые борцы как-то сыг­ра­ют между собой. Тогда после 8 туров оста­нут­ся борцы с но­ме­ра­ми 17 и 18, и в фи­наль­ном бое борец с но­ме­ром 18 по­бе­дит.

Ответ: 18.