На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того,
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Решим уравнение:
Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем 
Обозначив 
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары 
или 
совпадают при квадрате синуса равном 
совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ: нет, не всегда.
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.