На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это 
и 
но известно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно каждое из чисел?
Докажем существование таких чисел x и z, что 
и, кроме того, 
Тогда на доске находятся, во-первых, числа 
и 
а, во-вторых, 
и невозможно определить, где какое число.
Возведём равенство 
в степень минус два (мы это можем делать, так как всё равно ищем положительные решения) и получим
Таким образом, нам необходимо решить уравнение 
что, после замены 
решим уравнение
Это уравнение имеет подходящий корень 
Осталось убедиться, что при таком значении 
все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или 
совпадают при квадрате косинуса равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых чисел тоже, откуда синус угла равен его тангенсу или котангенсу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, что отсутствует на доске, так как 
аналогично для 
Можно также просто вычислить эти числа, это
Ответ:
Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия косинуса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором x и z меняются местами.