Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дана пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Сфера радиусом 10 с центром в точке D проходит через середины сторон AD, BD и CD и касается грани ABC. Найдите объём пирамиды.
Решение.
Спрятать критерииПусть H — точка касания сферы и грани 
Тогда ADH, BDH и CDH — равные прямоугольные треугольники, в которых катет DH в два раза меньше гипотенузы.
По теореме Пифагора 
В правильном треугольнике 
это радиус описанной окружности, откуда
Соответственно,
Ответ: 
?
Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год