сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

По­сле­до­ва­тель­ность xn за­да­на усло­ви­я­ми x_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и x_n плюс 1=3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x_n конец дроби . Най­ди­те x100.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­брав не­сколь­ко пер­вых чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти, можно за­ме­тить, что чис­ли­тель преды­ду­ще­го яв­ля­ет­ся зна­ме­на­те­лем сле­ду­ю­ще­го.

Опре­де­лим по­сле­до­ва­тель­ность y_n сле­ду­ю­щим об­ра­зом: y_0=3, y_1=5, y_n=x_n y_n минус 1, то есть x_n= дробь: чис­ли­тель: y_n, зна­ме­на­тель: y_n минус 1 конец дроби . Под­ста­вив это пред­став­ле­ние x_n в ре­кур­рент­ную фор­му­лу, мы по­лу­чим дробь: чис­ли­тель: y_n плюс 1, зна­ме­на­тель: y_n конец дроби = 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2 y_n минус 1, зна­ме­на­тель: y_n конец дроби , от­ку­да y_n плюс 1=3 y_n минус 2 y_n минус 1.

Члены по­сле­до­ва­тель­но­сти y_n имеют вид 3, 5, 9, 17, 33, \ldots Можно за­ме­тить, что раз­ность двух со­сед­них чле­нов каж­дый раз уве­ли­чи­ва­ет­ся в два раза, что ха­рак­тер­но для гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем 2. Зна­чит, имеет смысл ис­кать y_n как 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка a плюс b  — можно про­ве­рить, что такая любая такая по­сле­до­ва­тель­ность удо­вле­тво­ря­ет ре­кур­рент­ной фор­му­ле. Под­став­ляя на­чаль­ные зна­че­ния и решая си­сте­му урав­не­ний, на­хо­дим a=2 и b=1, от­ку­да x_n= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби и

x_100= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 99 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби .

Ответ: x_100= дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 101 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Толь­ко ответ без при­ме­ра  — 0 бал­лов.

Ребёнок «уви­дел за­ко­но­мер­ность» и уга­дал пра­виль­ную фор­му­лу об­ще­го члена, от­сут­ству­ет про­вер­ка того, что эта фор­му­ла удо­вле­тво­ря­ет ре­кур­рен­те  — 3 балла.

Для пол­но­го ре­ше­ния до­ста­точ­но по­стро­ить по­сле­до­ва­тель­ность и до­ка­зать, что она удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи, един­ствен­ность оче­вид­на и её до­ка­зы­вать не надо.

Раз­ре­ша­ет­ся поль­зо­вать­ся фор­му­лой для ре­ше­ния ли­ней­ных ре­кур­рент без до­ка­за­тель­ства. Ре­ше­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем про­из­во­дя­щих функ­ций также до­пу­сти­мы.

За ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, не­су­ще­ствен­но вли­я­ю­щие на ход ре­ше­ния  — сни­мать 0,5 балла.

В от­ве­те несвёрну­тая фор­му­ла (на­при­мер, гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии)  — сни­мать 1 балл.


Аналоги к заданию № 536: 545 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024