РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6680 Добавить в вариант

Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния, второй  — 30% меди и 70% магния, третий  — 45% алюминия и 55% магния. Нужно получить новый сплав этих трёх металлов с 20% меди. Какие значения может принимать процентное содержание алюминия в новом сплаве?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим массы исходных сплавов, из которых получается новый сплав, через m₁, m₂, m₃, а массу нового сплава m. Выполняются равенства $m_1 плюс m_2 плюс m_3=m$ и $0,15 m_1 плюс 0,3 m_2=0,2 m.$ Количество алюминия в новом сплаве равно $0,6 m_1 плюс 0,45 m_3.$ Пусть $x_i= дробь: числитель: m_i, знаменатель: m конец дроби$   — доля i-го сплава в новом сплаве. Тогда для доли алюминия имеем выражение $y=0,6 x_1 плюс 0,45 x_3.$

Итак, задача формализуется следующим образом. В условиях

$система выражений x_1 плюс x_2 плюс x_3=1, 0,15 x_1 плюс 0,3 x_2=0,4, 0 меньше или равно x_1, x_2, x_3 меньше или равно 1 конец системы .$

найти множество значений $y=0,6 x_1 плюс 0,45 x_3.$

Из системы линейных уравнений выразим x₃, x₁ и y через x₂:

$x_1= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби минус 2 x_2 ;$ $x_3=x_2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $y=0,65 минус 0,75 x_2.$

Решая теперь систему неравенств, находим значения, которые может принимать x₂. Получим $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x_2 меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Поскольку y есть линейная функция от переменной x₂, легко найти множество значений y. Далее нужно перейти к выражению доли в процентах.

Ответ: от 15% до 40%.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

3а верное решение 14 баллов.

Аналоги к заданию № 6676: 6680 Все

Инженерная олимпиада Звезда, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: числа. Сюжетные задачи типа ЕГЭ

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь