Рас­сто­я­ние между гра­фи­ка­ми функ­ций равно рас­сто­я­нию между их бли­жай­ши­ми точ­ка­ми. За­ме­тим, что функ­ции, между гра­фи­ка­ми ко­то­рых тре­бу­ет­ся найти рас­сто­я­ние, яв­ля­ют­ся об­рат­ны­ми друг к другу, а их гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой и, кроме того, на­хо­дят­ся по раз­ные сто­ро­ны от нее̄.

Если мы найдём на гра­фи­ке функ­ции точку A, бли­жай­шую к пря­мой то точка сим­мет­рич­ная ей, оче­вид­но, будет бли­жай­шей к этой пря­мой на гра­фи­ке функ­ции

Если про­ве­сти через эти точки пря­мые, па­рал­лель­ные пря­мой гра­фи­ки обеих функ­ций ока­жут­ся вне по­ло­сы, огра­ни­чен­ной этими пря­мы­ми, зна­чит, рас­сто­я­ние между лю­бы­ми двумя точ­ка­ми на этих гра­фи­ках не мень­ше рас­сто­я­ния между этими пря­мы­ми. С дру­гой сто­ро­ны, рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию между точ­ка­ми A и зна­чит, и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Пусть ко­ор­ди­на­ты точки A это тогда имеет ко­ор­ди­на­ты и рас­сто­я­ние между ними

Рас­смот­рим функ­цию и най­дем ее ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной: При­рав­ни­вая эту про­из­вод­ную к нулю в точке мы по­лу­ча­ем

Тогда при функ­ция убы­ва­ет, а при воз­рас­та­ет, сле­до­ва­тель­но, в точке функ­ция до­сти­га­ет ми­ни­му­ма.

сле­до­ва­тель­но, при Таким об­ра­зом,

За­ме­тим, что от­ли­ча­ет­ся от до­мно­же­ни­ем на сле­до­ва­тель­но, ми­ни­мум функ­ции до­сти­га­ет­ся в той же точке, что и ми­ни­мум функ­ции Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние равно:

Ответ: