Найдите расстояние между кривыми 
и 
Расстояние между графиками функций равно расстоянию между их ближайшими точками. Заметим, что функции, между графиками которых требуется найти расстояние, являются обратными друг к другу, а их графики симметричны относительно прямой 
и, кроме того, находятся по разные стороны от нее̄.
Если мы найдём на графике функции 
точку A, ближайшую к прямой 
то точка 
симметричная ей, очевидно, будет ближайшей к этой прямой на графике функции
Если провести через эти точки прямые, параллельные прямой графики обеих функций окажутся вне полосы, ограниченной этими прямыми, значит, расстояние между любыми двумя точками на этих графиках не меньше расстояния между этими прямыми. С другой стороны, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между точками A и значит, 
и есть искомое расстояние.
Пусть координаты точки A это 
тогда 
имеет координаты 
и расстояние между ними
Рассмотрим функцию 
и найдем ее минимум с помощью производной: 
Приравнивая эту производную к нулю в точке 
мы получаем 
Тогда при 
функция 
убывает, а при 
возрастает, следовательно, в точке 
функция достигает минимума.
следовательно, 
при 
Таким образом, 
Заметим, что 
отличается от домножением на 
следовательно, минимум функции достигается в той же точке, что и минимум функции 
Таким образом, минимальное расстояние равно: 
Ответ:
Наверх