РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7575 Добавить в вариант

Для зашифрования осмысленного русского слова используется последовательность натуральных чисел y₁, y₂, ..., которая формируется так: y₁ выбирается произвольно, а остальные члены последовательности вычисляются по формуле $y_n плюс 1=4 y_n плюс 25,$ $n=1, 2, \ldots .$ Зашифрование производилось следующим образом. Первая буква слова заменялась числом согласно таблице и умножалась на y₁. Потом также заменялась вторая буква и умножалась на y₂ и т. д. Затем все произведения были замены остатками от деления на 32. В результате получилось вот что:

12, 22, 16, 1, 3, 15, 0, 26, 0, 9, 8, 1.

Какое слово было зашифровано?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через r₃₂(a) остаток от деления числа a на 32. Вычислим несколько первых членов последовательности y₁, y₂, ...:

$y_2=4 y_1 плюс 25,$ $y_3=4 левая круглая скобка 4 y_1 плюс 25 правая круглая скобка плюс 25=16 y_1 плюс 5 умножить на 25,$ $y_4=64 y_1 плюс 21 умножить на 25.$

$r_32 левая круглая скобка y_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 21 умножить на 25 правая круглая скобка =13,$

a значит,

$r_32 левая круглая скобка y_5 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 4 y_4 плюс 25 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 4 умножить на 13 плюс 25 правая круглая скобка =13.$

То есть, начиная с четвертого номера, все члены последовательности r₃₂(y_n) равны 13. Пусть x₁, x₂, ..., x₁₂  — числовые значения букв искомого слова. Чтобы найти x₄ надо решить уравнение $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =1.$ Заметим, что

$r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно r_32 левая круглая скобка 13 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 13 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 1 правая круглая скобка равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =5 \Rightarrow x_4=5.$ $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно r_32 левая круглая скобка 13 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 13 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 1 правая круглая скобка равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =5 \Rightarrow x_4=5.$ $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно r_32 левая круглая скобка 13 x_4 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 13 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 5 умножить на 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =5 \Rightarrow x_4=5.$

Следовательно, четвертая буква слова  — Е. Аналогично находятся числовые значения букв x₅, ..., x₁₂. В итоге, искомое слово принимает вид ***ЕЕПЛАВАНИЕ. Ответ легко угадывается.

Ответ: МОРЕПЛАВАНИЕ.

Аналоги к заданию № 7575: 7587 Все

Межрегиональная олимпиада школьников им. И. Я. Верченко, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Разное. Логические задачи

Спрятать решение · Помощь