РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 7587 Добавить в вариант

Для зашифрования осмысленного русского слова используется последовательность натуральных чисел y₁, y₂, ..., которая формируется так: y₁ выбирается произвольно, а остальные члены последовательности вычисляются по формуле $y_n плюс 1=4 y_n плюс 25,$ $n=1, 2, \ldots .$ Зашифрование производилось следующим образом. Первая буква слова заменялась числом согласно таблице и умножалась на y₁. Потом также заменялась вторая буква и умножалась на y₂ и т. д. Затем все произведения были замены остатками от деления на 32. В результате получилось вот что:

8, 16, 24, 13, 22, 10, 9, 16, 0, 28, 24.

Какое слово было зашифровано?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через r₃₂(a) остаток от деления числа a на 32. Вычислим несколько первых членов последовательности y₁, y₂, ...:

$y_2=4 y_1 плюс 23,$ $y_3=4 левая круглая скобка 4 y_1 плюс 23 правая круглая скобка плюс 23=16 y_1 плюс 5 умножить на 23,$ $y_4=64 y_1 плюс 21 умножить на 23.$

Далее $r_32 левая круглая скобка y_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 21 умножить на 23 правая круглая скобка =3,$ а значит

$r_32 левая круглая скобка y_5 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 4 y_4 плюс 23 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 4 умножить на 3 плюс 23 правая круглая скобка =3.$

То есть, начиная с четвертого номера, все члены последовательности r₃₂(y_n) равны 3.

Пусть x₁, x₂, ..., x₁₂  — числовые значения букв искомого слова. Чтобы найти x₄ надо решить уравнение $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =13.$ Заметим, что

$r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно r_32 левая круглая скобка 3 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 3 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 13 правая круглая скобка равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =15 \Rightarrow x_4=15.$ $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно r_32 левая круглая скобка 3 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 3 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 13 правая круглая скобка равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =15 \Rightarrow x_4=15.$ $r_32 левая круглая скобка y_4 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно r_32 левая круглая скобка 3 x_4 правая круглая скобка =13 равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 3 x_4 правая круглая скобка =r_32 левая круглая скобка 11 умножить на 13 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно r_32 левая круглая скобка x_4 правая круглая скобка =15 \Rightarrow x_4=15.$

Следовательно, четвертая буква слова  — П. Аналогично находятся числовые значения букв x₅, ..., x₁₂. В итоге, искомое слово принимает вид ***ПТОГРАФИЯ. Ответ легко угадывается.

Ответ: КРИПТОГРАФИЯ.

Аналоги к заданию № 7575: 7587 Все

Межрегиональная олимпиада школьников им. И. Я. Верченко, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Разное. Логические задачи

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь