Даны три приведённых квадратных трёхчлена с неотрицательными дискриминантами. Корень из дискриминанта каждого из них является корнем двух оставшихся трёхчленов. Докажите, что какие-то два их этих трёхчленов равны.
Обозначим наши корни из дискриминантов за 
и пусть, для начала, 
Поскольку разность между корнями трёхчлена — это корень из дискриминант а, разделённый на модуль старшего коэффициент а, для трёх члена с дискриминантом 
получаем 
Аналогично 
Но 
а 
Получаем противоречие, значит, какие-то два дискриминанта совпадают.
Пусть теперь у двух трёхчленов корень из дискриминанта а у третьего 
Тогда каждый из трёхчленов с коэффициентом 
имеет корни и 
Значит, учитывая равенство старших коэффициентов, эти трёхчлены равны.
Если же у нас три трёхчлен а с одинаковым дискриминантом 
то число d по условию является их общим корнем, а второй корень отличается на d. Но чисел, которые отличаются от d на d всего два, это 
и 0, значит, как минимум два трёхчлен а совпадают.