По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках 
и 
с соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
Обозначим точки, в которых находятся водомерка и жук 
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен π, и при этом 
где 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
Расстояние между водомеркой и жуком будет наименьшим тогда, когда угол между векторами 
и 
равен нулю. Поскольку 
—
то угловая скорость водомерки в 5 раза больше угловой скорости жука.
Пусть к моменту совпадения направления векторов и жук продвинулся на угол 
Тогда
где 
Следовательно,
где Различных точек будет четыре (при 
Для 
получаем 
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим
и 
По формулам косинуса и синуса суммы углов получаем
Отсюда
Остальные точки получаются поворотом точки 
вокруг начала координат на углы 
π, 
и имеют, соответственно, координаты
Ответ: 