Вокруг крючка с червяком в одной плоскости с ним по двум окружностям плавают карась и пескарь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой крючок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). В начальный момент времени карась и пескарь находятся в точках 
и 
соответственно. Скорость карася в два с половиной раза больше скорости пескаря, оба двигаются по часовой стрелке. Определите координаты всех положений пескаря, при которых расстояние между рыбами будет кратчайшим.
Обозначим точки, в которых находятся карась и пескарь 
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен \pi, и при этом 
где 
—
Расстояние между карасём и пескарём будет наименьшим тогда, когда угол между векторами 
и 
равен нулю. Поскольку 
и 
—
то угловая скорость карася в 5 раза больше угловой скорости пескаря. Пусть к моменту совпадения направления векторов и пескарь продвинулся на угол 
по часовой стрелке. Тогда 
где 
Следовательно,
где 
Различных точек будет четыре (при 
Для 
получаем 
Координаты положения пескаря найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим
и 
По формулам косинуса и синуса суммы углов получаем
Отсюда
Остальные точки получаются поворотом точки 
вокруг начала координат на на углы 
−π, 
и имеют, соответственно, координаты
Ответ: 