РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 830 Добавить в вариант

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 16 875. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Спрятать решение

Решение.

Ввиду того, что $16 875=3 в кубе умножить на 5 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ искомые числа могут состоять из следующих цифр: a) три тройки, четыре пятёрки и одна единица или б) тройка, девятка, четыре пятёрки и две единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае.

а)  Сначала выбираем три места из восьми для расположения троек

$C_8 в кубе = дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 3 ! 5 ! конец дроби способов,$

затем одно место из пяти оставшихся для размещения единицы $C_5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =5.$ способов. Наконец, оставшиеся места занимают пятёрки. По правилу произведения выходит

$C_8 в кубе умножить на C_5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 3 ! 5 ! конец дроби умножить на 5=280 способов.$

б)  Рассуждая аналогично, находим, что количество способов в этом случае равно

$дробь: числитель: 8 !, знаменатель: 4 ! 2 ! конец дроби =840.$

Окончательно получаем $280 плюс 840=1120$ способов.

Ответ: 1120.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

За рассмотрение каждого из двух случаев — по 1 баллу (при этом балл ставится, даже если результат в случае не сведен к числу).

Аналоги к заданию № 823: 830 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь