РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 851 Добавить в вариант

Даны квадратные трехчлены

$f_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус 2ax плюс 3,$ $\quad f_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс x плюс b,$

$f_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус 4a правая круглая скобка x плюс 6 плюс b,$ $\quad f_4 левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус 2a правая круглая скобка x плюс 3 плюс 2b.$

Пусть разности их корней равны соответственно A, B, C и D. Известно, что $\mid A \mid не равно \mid B \mid.$ Найдите отношение $дробь: числитель: C в квадрате минус D в квадрате , знаменатель: A в квадрате минус B в квадрате конец дроби .$ Значения A, B, C, D, a и b не заданы.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $альфа x в квадрате плюс бета x плюс гамма$   — квадратный трёхчлен с положительным дискриминантом T. Тогда его корни определяются формулой

$x_1,2= дробь: числитель: минус b \pm корень из: начало аргумента: T конец аргумента , знаменатель: 2 a конец дроби ,$

поэтому

$\left|x_2 минус x_1|=\left| дробь: числитель: минус b плюс корень из: начало аргумента: T конец аргумента минус левая круглая скобка минус b минус корень из: начало аргумента: T конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 a конец дроби |= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: T конец аргумента , знаменатель: |a| конец дроби .$

Применяя эту формулу четыре раза, получаем

$A= корень из: начало аргумента: 4 a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 12 правая круглая скобка ,$ $B= корень из: начало аргумента: 1 минус 4 b конец аргумента ,$ $C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 1 минус 4 a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 12 левая круглая скобка 6 плюс b правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ $D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 минус 2 a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус 12 левая круглая скобка 3 плюс 2 b правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Отсюда следует, что

$C в квадрате минус D в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка 16 a в квадрате минус 8 a минус 12 b минус 71 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 a в квадрате минус 8 a минус 24 b минус 32 правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4 a в квадрате плюс 4 b минус 13 правая круглая скобка ,$ $C в квадрате минус D в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка 16 a в квадрате минус 8 a минус 12 b минус 71 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 a в квадрате минус 8 a минус 24 b минус 32 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4 a в квадрате плюс 4 b минус 13 правая круглая скобка ,$ $C в квадрате минус D в квадрате =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка 16 a в квадрате минус 8 a минус 12 b минус 71 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4 a в квадрате минус 8 a минус 24 b минус 32 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4 a в квадрате плюс 4 b минус 13 правая круглая скобка ,$

$A в квадрате минус B в квадрате =4 a в квадрате плюс 4 b минус 13 .$

Значит, искомое отношение равно $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Выведена или указана формула для модуля разности между корнями уравнения 1 балл.

Аналоги к заданию № 851: 858 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь