сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC лежат на ка­са­тель­ных к гра­фи­ку функ­ции y=0,25 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2 x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ; две из них про­хо­дят через точку A(1; −1), а точка ка­са­ния гра­фи­ка с тре­тьей ка­са­тель­ной лежит на сто­ро­не BC. Какую наи­боль­шую пло­щадь может иметь тре­уголь­ник ABC?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем  y=0,25 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2 x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка и  A левая круг­лая скоб­ка 1; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_0 в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x_0 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_0 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка или

 y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_0 в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_0 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на x.

Для ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A:

 минус 1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_0 в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x_0 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да x_0 в квад­ра­те минус 2 x_0 минус 3=0, где x_0=3 или x_0= минус 1. Урав­не­ния ка­са­тель­ных, про­хо­дя­щих через точку A: 1) y= минус 1; 2) y=2 x минус 3.

Урав­не­ние пря­мой CB:

y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_* в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_* плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на x,

где x*  — абс­цис­са точки ка­са­ния с гра­фи­ком функ­ции.

В точке C левая круг­лая скоб­ка y_C; x_C пра­вая круг­лая скоб­ка : y_C= минус 1. Тогда

 минус 1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_* в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_* плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на x_C \Rightarrow x_C= дробь: чис­ли­тель: x_* в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка x_* плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на 2= дробь: чис­ли­тель: x_* минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

В точке B левая круг­лая скоб­ка x_B; y_B пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x_* в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_* плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на x_B=2 x_B минус 3 \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: x_* минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на x_B= дробь: чис­ли­тель: x_* в квад­ра­те минус 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

где  x_B= дробь: чис­ли­тель: x_* плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и y_B=2 x_B минус 3=x_*.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

S_\triangle A B C=0,5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x_A минус x_C пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка y_B минус y_A пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x_* минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x_* плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 x_* минус x_* в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =S левая круг­лая скоб­ка x_* пра­вая круг­лая скоб­ка .

Зна­чит, S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x_* пра­вая круг­лая скоб­ка =0,25 левая круг­лая скоб­ка 2 минус 2 x_* пра­вая круг­лая скоб­ка =0 при x_*=1. На­хо­дим наи­боль­шую пло­щадь:

\max S_\triangle A B C=S левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,25 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 .

Ответ: 1.


Аналоги к заданию № 8564: 8573 Все