сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Из­вест­но, что от­но­ше­ние суммы всех чле­нов бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии к сумме кубов всех чле­нов этой же про­грес­сии равно  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , а от­но­ше­ние суммы четвёртых сте­пе­ней всех чле­нов к сумме квад­ра­тов всех чле­нов этой про­грес­сии равно  дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Най­ди­те пер­вый член и зна­ме­на­тель ука­зан­ной про­грес­сии.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из­вест­но, что сумма пер­вых n чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном b_1 и зна­ме­на­те­лем q равна

 дробь: чис­ли­тель: b_1 левая круг­лая скоб­ка 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби .

Для бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии |q| мень­ше 1, по­это­му при n, стре­мя­щем­ся к бес­ко­неч­но­сти, q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка стре­мит­ся к нулю, а сумма чле­нов стре­мит­ся к  дробь: чис­ли­тель: b_1, зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби .

Кубы чле­нов дан­ной про­грес­сии  левая фи­гур­ная скоб­ка b_n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка также об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном b_1 в кубе и зна­ме­на­те­лем q в кубе , четвёртые сте­пе­ни чле­нов  — про­грес­сию с пер­вым чле­ном b_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка и зна­ме­на­те­лем q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , а квад­ра­ты  — про­грес­сию с пер­вым чле­ном b_1 в квад­ра­те и зна­ме­на­те­лем q в квад­ра­те . Суммы этих чле­нов равны со­от­вет­ствен­но

 дробь: чис­ли­тель: b_1 в кубе , зна­ме­на­тель: 1 минус q в кубе конец дроби ,  \quad дробь: чис­ли­тель: b_1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби  \quad дробь: чис­ли­тель: b _1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус q в квад­ра­те конец дроби .

Из усло­вия по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: b _ 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби : дробь: чис­ли­тель: b _ 1 , зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби = 1 2 , дробь: чис­ли­тель: b _ 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби : дробь: чис­ли­тель: b _ 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 6 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: b_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс q плюс q в квад­ра­те конец дроби =12, дробь: чис­ли­тель: b_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс q в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец си­сте­мы .

Делим почлен­но пер­вое урав­не­ние на вто­рое и по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 1 плюс q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 плюс q плюс q в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 2 q в квад­ра­те плюс 5 q плюс 2=0,

от­ку­да q= минус 2 или q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Так как про­грес­сия яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей, |q| мень­ше 1, и под­хо­дит толь­ко зна­че­ние q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда

b_1 в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс q в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =9

и b_1=\pm 3 .

 

Ответ: b_1 = \pm 3, q= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Со­став­ле­на си­сте­ма урав­не­ний от­но­си­тель­но пер­во­го члена про­грес­сии и её зна­ме­на­те­ля — 2 балла.

Не обос­но­ва­но, что зна­ме­на­тель про­грес­сии от­ли­чен от еди­ни­цы — баллы не сни­мать.

В ответ вклю­че­но зна­че­ние зна­ме­на­те­ля, мо­дуль ко­то­ро­го боль­ше еди­ни­цы — снять 2 балла.

По­те­ря­но одно из двух зна­че­ний пер­во­го члена про­грес­сии — снять 1 балл.


Аналоги к заданию № 853: 860 Все