Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Для рас­кры­тия мо­ду­лей рас­смат­ри­ва­ем три воз­мож­ных слу­чая.

1)  При Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

В этом слу­чае ре­ше­ний нет.

2)  При Тогда по­лу­ча­ем

что вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях y из рас­смат­ри­ва­е­мо­го про­ме­жут­ка.

3)  При Тогда

то есть ре­ше­ний также нет.

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем, что Пе­рейдём ко вто­ро­му не­ра­вен­ству. Зна­ме­на­тель дроби в его левой части об­ру­ша­ет­ся в ноль в точ­ках, при­над­ле­жа­щих пря­мой (назовём её ℓ при этом не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но, так как дробь не опре­де­ле­на). Чис­ли­тель дроби об­ра­ща­ет­ся в ноль при

Это мно­же­ство точек есть па­ра­бо­ла с вет­вя­ми влево и вер­ши­ной в точке За­ме­тим, что па­ра­бо­ла и пря­мая пе­ре­се­ка­ют ось абс­цисс в точ­ках и со­от­вет­ствен­но. Точки пе­ре­се­че­ния пря­мой ℓ и па­ра­бо­лы можно опре­де­лить из си­сте­мы урав­не­ний

От­сю­да вы­хо­дят две точки  — и Вто­рое не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся:

а)  в точ­ках па­ра­бо­лы (кроме точек A и C);

б)  в точ­ках спра­ва от па­ра­бо­лы и выше пря­мой (при этом и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби по­ло­жи­тель­ны);

в)  в точ­ках слева от па­ра­бо­лы и ниже пря­мой (и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель дроби от­ри­ца­тель­ны).

Учи­ты­вая также огра­ни­че­ние из пер­во­го не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем, что мно­же­ство М пред­став­ля­ет собой со­во­куп­ность двух мно­жеств и пер­вое из них есть кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник BCD (его сто­ро­на­ми яв­ля­ют­ся от­рез­ки CD, BD и дуга па­ра­бо­лы BC), а вто­рое  — об­ласть, огра­ни­чен­ная от­рез­ком AC и дугой па­ра­бо­лы AC (при этом все точки пря­мой AC не при­над­ле­жат мно­же­ству, а осталь­ные гра­нич­ные точки  — при­над­ле­жат).

Из сим­мет­рии па­ра­бо­лы от­но­си­тель­но своей оси (т. е. пря­мой сле­ду­ет, что пло­щадь фи­гу­ры огра­ни­чен­ной от­рез­ком BC и дугой па­ра­бо­лы BC, равна пло­ща­ди Но а пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка не­слож­но найти:

Ответ: 8.