На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите её площадь.
Рассмотрим первое неравенство. Для раскрытия модулей рассматриваем три возможных случая.
1) При 
Тогда неравенство принимает вид
В этом случае решений нет.
2) При 
Тогда получаем
что выполняется при всех значениях y из рассматриваемого промежутка.
3) При 
Тогда
то есть решений также нет.
Объединяя результаты, получаем, что 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежащих прямой 
(назовём её ℓ при этом неравенство не выполнено, так как дробь не определена). Числитель дроби обращается в ноль при
Это множество точек есть парабола с ветвями влево и вершиной в точке 
Заметим, что парабола и прямая пересекают ось абсцисс в точках 
и 
соответственно. Точки пересечения прямой ℓ и параболы можно определить из системы уравнений
Отсюда выходят две точки — 
и 
Второе неравенство выполняется:
а) в точках параболы (кроме точек A и C);
б) в точках справа от параболы и выше прямой (при этом и числитель, и знаменатель дроби положительны);
в) в точках слева от параболы и ниже прямой (и числитель, и знаменатель дроби отрицательны).
Учитывая также ограничение 
из первого неравенства, получаем, что множество М представляет собой совокупность двух множеств 
и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD (его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат).
Из симметрии параболы относительно своей оси (т. е. прямой 
следует, что площадь фигуры 
ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Но 
а площадь этого треугольника несложно найти:
Ответ: 8.
Построено множество точек — 4 балла.
Если при этом неверно учтена граница множества (т. е. либо не исключены участки границы, на которых знаменатель обращается в 0, либо исключены участки границы, в которых числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, либо невозможно понять, какие из границ принадлежат множеству) — снять 1 балл.
Найдена площадь фигуры — 2 балла (эти баллы ставятся только в том случае, если множество точек построено верно или отличается от верного лишь некоторым количеством граничных точек).
За неполное построение множества возможны частичные баллы:
а) определено множество решений первого неравенства — 1 балл;
б) построены множества точек, в которых числитель и знаменатель дроби второго неравенства обращаются в ноль — 1 балл;
в) определены области плоскости, удовлетворяющие второму неравенству — 1 балл (этот балл суммируется с предыдущим).
Наверх