Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Трижды применяем теорему о касательной и секущей:
Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой, 
следовательно,
Итак,
Пусть 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем
то есть
откуда
Пусть O и Q — центры, а R и r — радиусы окружностей и соответственно; так как окружности касаются, точка касания F лежит на линии центров OQ, и при этом OQ и PH — перпендикулярны. Углы B и F четырёхугольника OBPF прямые, поэтому
Рассмотрим прямоугольную трапецию ABOQ. В ней
Опуская из точки Q высоту QH на основание BO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором
По теореме Пифагора получаем
кроме того,
Из последнего уравнения получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Ответ: 
