На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны
точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности 
и 
причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность 
касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит на
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка CQ.
Противоположные стороны четырёхугольника KLMN попарно равны, так что он параллелограмм. Поскольку плоскость (KLMN) пересекает плоскости (ABC) и (ABS) по параллельным прямым KL и M=N, эти прямые параллельны прямой пересечения этих плоскостей — то есть AB. Аналогично, NK, LM и SC — параллельны между собой. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны друг другу, поэтому SC и AB — перпендикулярны, а KLMN — прямоугольник. Следовательно, радиусы окружностей 
и 
равны 1.
Отсюда также следует, что прямоугольник KLMN симметричен относительно плоскости 
содержащей ребро 
и середину AB. Тогда и конусы 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому P — середина AB.
Обозначим через X и Y середины сторон KL и MN соответственно, а через 
— и соответственно; эти четыре точки лежат на оси симметрии прямоугольника KLMN, параллельной KN, а значит — в плоскости 
Более того, XY и SC — параллельны, то есть треугольники PCS и PXY подобны.
Пусть 
и 
Тогда 
и 
Поскольку 
из подобия получаем 
то есть
Аналогично,
С другой стороны, так как конус —
перпендикулярна XY, причём
Отсюда
или 
откуда 
Значит,
Итак, 
и из подобия имеем
откуда 
и 
Пусть пересекает SC в точке H. Тогда PH — высота треугольника SCP, причём (поскольку XY и CS — параллельны)
Значит,
Поскольку 
и XY — перпендикулярны, то 
— прямоугольник, так что 
Отсюда
Ответ: а) 
б) 