Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
На рёбрах AC, BC, BS, AS правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S выбраны точки K, L, M, N соответственно. Известно, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости, причём 
В четырёхугольнике KLMN расположены две окружности 
и 
причём окружность касается сторон KN, KL и LM, а окружность 
касается сторон KN, LM и MN. Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина P конуса лежит на ребре AB, а вершина Q конуса лежит
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка CQ.
и 
равны 1.
содержащей ребро SC и 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому P — середина AB. 
—
Более того, XY и SC — параллельны, то есть треугольники PCS и PXY подобны. 
и 
Тогда 
и 
Поскольку 
из подобия получаем 
то есть 
перпендикулярна XY, причём 
откуда 
Значит, 
и из подобия имеем 
и 
Пусть 
и 
— прямоугольник, так что 
Отсюда 
б) 