сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Из­вест­но, что

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x минус синус x, зна­ме­на­тель: синус y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус y конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния вы­ра­же­ния тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка , если из­вест­но, что их не менее трёх.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние. Пе­ре­мно­жая два дан­ных ра­вен­ства, по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус y синус y конец дроби = минус 2,

что на ОДЗ рав­но­силь­но сле­ду­ю­ще­му:

 ко­си­нус 2 x= минус 2 синус y ко­си­нус y рав­но­силь­но ко­си­нус 2 x плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2 y минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс y минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс y минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,x минус y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z

В пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем, что x плюс y= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z , от­ку­да мгно­вен­но сле­ду­ет, что  тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка = −1.

Во вто­ром слу­чае x=y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z . Вводя до­пол­ни­тель­ный угол, можем пре­об­ра­зо­вать чис­ли­тель дроби в левой части пер­во­го урав­не­ния:

 ко­си­нус x минус синус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Под­став­ля­ем сюда вы­ра­же­ние для x и по­лу­ча­ем

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка y плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка синус y ко­си­нус Пи k плюс ко­си­нус y синус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус y .

Пер­вое урав­не­ние при этом при­ни­ма­ет вид

 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да  тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби может при­ни­мать зна­че­ния \pm дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Зна­чит,

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби =\mp дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби .

Так как в усло­вии за­да­но, что вы­ра­же­ние  тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка может при­ни­мать по край­ней мере 3 раз­лич­ных зна­че­ния, все три по­лу­чен­ных слу­чая воз­мож­ны. За­ме­ча­ние. Не­слож­но убе­дить­ся в том, что все 3 слу­чая ре­а­ли­зу­ют­ся. В пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус y плюс Пи k , конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи минус y плюс Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , x = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус y плюс Пи k , конец си­сте­мы рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус y плюс Пи k, конец си­сте­мы . k при­над­ле­жит Z .

Оче­вид­но, у пер­во­го урав­не­ния есть ре­ше­ния (ко­тан­генс при­ни­ма­ет любые зна­че­ния), а, зна­чит, есть ре­ше­ния и у си­сте­мы.

Во вто­ром слу­чае под­ста­вим x не толь­ко в левую часть пер­во­го урав­не­ния, но и в пра­вую:

 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби тан­генс левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но тан­генс левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Не­слож­но ви­деть, что это урав­не­ние имеет ре­ше­ния при любых целых k, по­это­му оба зна­че­ния  тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка могут при­ни­мать­ся.

 

Ответ: −1,  дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби или  минус дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

По­лу­че­но ра­вен­ство си­ну­са и ко­си­ну­са (как в ре­ше­нии) — 2 балла.

Разо­бран слу­чай, при­во­дя­щий к от­ве­ту 1 или −1 — 1 балл.

Разо­бран дру­гой слу­чай — 3 балла.

Вни­ма­ние! В ре­ше­нии НЕ тре­бу­ет­ся до­ка­зы­вать, что слу­чаи ре­а­ли­зу­ют­ся. За от­сут­ствие до­ка­за­тель­ства баллы не сни­ма­ют­ся.


Аналоги к заданию № 866: 873 Все