Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также пересекает в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Решение. Трижды применяем теорему о касательной и секущей:
Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой, 
следовательно,
Итак,
Пусть 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем
то есть
откуда
Пусть O и Q — центры, а R и r — радиусы окружностей и соответственно; так как окружности касаются, точка касания F лежит на линии центров OQ, и при этом OQ и PH — перпендикулярны. Углы A и F четырёхугольника AOFP прямые, поэтому
Рассмотрим прямоугольную трапецию ABQO. В ней 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором
и 
По теореме Пифагора получаем
кроме того,
Из последнего уравнения получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что
и 
Ответ: 
