сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n такое, что су­ще­ству­ют раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа x1, x2, x3, ..., xn такие, что

левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 336, зна­ме­на­тель: 2022 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Без огра­ни­че­ния общ­но­сти будем счи­тать, что x_1 мень­ше x_2 мень­ше x_3 мень­ше \ldots мень­ше x_n. Тогда

2 мень­ше или равно x_1 мень­ше или равно x_2 минус 1 мень­ше или равно x_3 минус 2 мень­ше или равно \ldots мень­ше или равно x_n минус левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку x_k боль­ше или равно k плюс 1 для всех k при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 1, 2, \ldots, n пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , то

дробь: чис­ли­тель: 336, зна­ме­на­тель: 2022 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на \ldots умно­жить на дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби .

Итак,

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 336, зна­ме­на­тель: 2022 конец дроби \Rightarrow n боль­ше или равно 6.

Для n  =  6 рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность x_k=k плюс 1 для всех k при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 1, 2, \ldots, n минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка и x_6=337:

левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 336, зна­ме­на­тель: 337 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 118, зна­ме­на­тель: 2023 конец дроби .

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n равно 6.

 

Ответ: 6.


Аналоги к заданию № 9003: 9011 Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024