сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 8 9

Всего: 65    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–65

Добавить в вариант

Каж­дый член пар­тии до­ве­ря­ет пяти од­но­пар­тий­цам, но ни­ка­кие двое не до­ве­ря­ют друг другу. При каком ми­ни­маль­ном раз­ме­ре пар­тии такое воз­мож­но?

Не за­будь­те по­ка­зать, что при ука­зан­ном Вами раз­ме­ре пар­тии это дей­стви­тель­но воз­мож­но, а при мень­ших  — нет.


Из n пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 1 сде­ла­ли мно­го­уголь­ник на плос­ко­сти, скле­и­вая ше­сти­уголь­ни­ки по сто­ро­нам. Любые два ше­сти­уголь­ни­ка либо имеют ровно одну общую сто­ро­ну, либо во­об­ще не имеют общих точек. Внут­ри мно­го­уголь­ни­ка нет дыр. При этом у каж­до­го ше­сти­уголь­ни­ка хотя бы одна сто­ро­на лежит на гра­ни­це мно­го­уголь­ни­ка. Какой наи­мень­ший пе­ри­метр может иметь мно­го­уголь­ник при дан­ных усло­ви­ях?


В вер­ши­нах квад­ра­та со сто­ро­ной 4 рас­по­ло­же­ны че­ты­ре го­ро­да. Эти го­ро­да надо со­еди­нить до­ро­га­ми так, чтобы из

лю­бо­го го­ро­да можно было по ним до­брать­ся в любой. Пред­ло­жи­те хоть один ва­ри­ант таких дорог, общей дли­ной менее 11.

 

Ука­за­ние. При ре­ше­нии за­да­чи может ока­зать­ся по­лез­ным сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние (ко­то­рое до­пу­сти­мо ис­поль­зо­вать без до­ка­за­тель­ства). Пусть внут­рен­ние углы тре­уголь­ни­ка ABC мень­ше 120°. Сумма рас­сто­я­ний AT плюс BT плюс CT от точки T до вер­шин тре­уголь­ни­ка ми­ни­маль­на, если из точки T сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка видны под углом 120° (T  — точка То­ри­чел­ли тре­уголь­ни­ка). Если же один из углов тре­уголь­ни­ка боль­ше или равен 120°, то точ­кой ми­ни­му­ма суммы рас­сто­я­ний будет вер­ши­на этого угла.


В не­ко­то­рой стра­не 450 го­ро­дов и 6 авиа­ком­па­ний. Каж­дые два го­ро­да со­еди­не­ны рей­са­ми одной из шести авиа­ком­па­ний. Можно ли утвер­ждать, что найдётся авиа­ком­па­ния и боль­ше 150 го­ро­дов, между лю­бы­ми двумя из ко­то­рых можно до­брать­ся рей­са­ми этой авиа­ком­па­нии (воз­мож­но, с пе­ре­сад­ка­ми)?


В не­ко­то­рой стра­не 200 го­ро­дов и 8 авиа­ком­па­ний. Каж­дые два го­ро­да со­еди­не­ны рей­са­ми одной из вось­ми авиа­ком­па­ний. Можно ли утвер­ждать, что найдётся авиа­ком­па­ния и боль­ше 50 го­ро­дов, между лю­бы­ми двумя из ко­то­рых можно до­брать­ся рей­са­ми этой авиа­ком­па­нии (воз­мож­но, с пе­ре­сад­ка­ми)?


Аналоги к заданию № 740: 739 Все


В стра­не 50 го­ро­дов, каж­дые два го­ро­да со­еди­не­ны (дву­сто­рон­ни­ми) авиа­ли­ни­я­ми, цены всех пе­ре­ле­тов по­пар­но раз­лич­ны (для любой пары го­ро­дов цена пе­ре­ле­та «туда» равна цене «об­рат­но»). В каж­дом го­ро­де на­хо­дит­ся ту­рист. Каж­дый вечер все ту­ри­сты пе­ре­ез­жа­ют: бо­га­тые ту­ри­сты  — по самой до­ро­гой, бед­ные  — по самой де­ше­вой линии, ве­ду­щей из со­от­вет­ству­ю­ще­го го­ро­да. Через k дней ока­за­лось, что в каж­дом го­ро­де снова по од­но­му ту­ри­сту. За это время ни один ту­рист не по­се­тил ни­ка­кой город два­жды. При каком наи­боль­шем k такое воз­мож­но?

 

(К. Ко­хась)


В стра­не не­ко­то­рые пары го­ро­дов со­еди­не­ны до­ро­га­ми с од­но­сто­рон­ним дви­же­ни­ем, при­чем из лю­бо­го го­ро­да можно про­ехать в любой дру­гой. Из каж­до­го го­ро­да вы­хо­дит хотя бы две до­ро­ги и в каж­дый город вхо­дит хотя бы две до­ро­ги. До­ка­жи­те, что можно найти цик­ли­че­ский марш­рут и уда­лить все его до­ро­ги так, что по-преж­не­му из лю­бо­го го­ро­да можно будет про­ехать в любой дру­гой.

 

(Д. Кар­тов)


В стра­не не­ко­то­рые ма­те­ма­ти­ки зна­ко­мы между собой и при любом раз­би­е­нии ма­те­ма­ти­ков на две не­пу­стые груп­пы най­дут­ся двое зна­ко­мых из раз­ных групп. Из­вест­но, что если по­са­дить за круг­лый стол любой набор из 4 или более ма­те­ма­ти­ков так, чтобы любые два со­се­да были зна­ко­мы, то за сто­лом най­дут­ся двое зна­ко­мых, не си­дя­щих рядом. Обо­зна­чим через ci ко­ли­че­ство на­бо­ров из i по­пар­но зна­ко­мых ма­те­ма­ти­ков. До­ка­жи­те, что c_1 минус c_2 плюс c_3 минус c_4 плюс \dots =1.

 

(Ф. Пет­ров)


Пусть между го­ро­да­ми A, B, C и D есть до­ро­ги AB и CD, но нет дорог BC и AD. На­зо­вем пе­ре­строй­кой за­ме­ну пары дорог AB и CD на пару дорог BC и AD. Из­на­чаль­но в стра­не было не­сколь­ко го­ро­дов, не­ко­то­рые пары го­ро­дов были со­еди­не­ны до­ро­га­ми, при­чем из каж­до­го го­ро­да вы­хо­ди­ло по 100 дорог. Ми­нистр на­ри­со­вал новую схему дорог, в ко­то­рой из каж­до­го го­ро­да по-преж­не­му вы­хо­дит 100 дорог. Из­вест­но, что как в ста­рой, так и в новой схе­мах ни­ка­кие два го­ро­да не со­еди­не­ны более, чем одной до­ро­гой. До­ка­жи­те, что новую схему можно по­лу­чить из ста­рой с по­мо­щью не­сколь­ких пе­ре­стро­ек.


В го­ро­де по­стро­е­но 2019 стан­ций метро. Не­ко­то­рые пары стан­ций со­еди­не­ны тон­не­ля­ми, при­чем от любой стан­ции по тон­не­лям можно до­брать­ся до любой дру­гой. Мэр рас­по­ря­дил­ся ор­га­ни­зо­вать не­сколь­ко линий метро: каж­дая линия долж­на вклю­чать в себя не­сколь­ко раз­лич­ных стан­ций, по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нен­ных тон­не­ля­ми (по од­но­му и тому же тон­не­лю может про­хо­дить не­сколь­ко линий). При этом каж­дая стан­ция долж­на ле­жать хотя бы на одной линии. Для эко­но­мии средств сле­ду­ет сде­лать не более k линий. Ока­за­лось, что при­каз мэра не­осу­ще­ствим. При каком наи­боль­шем k это могло про­изой­ти?


В со­ци­аль­ной сети у каж­до­го поль­зо­ва­те­ля не более де­ся­ти дру­зей (от­но­ше­ние «друж­ба» сим­мет­рич­но). Сеть связ­на: если, узнав ин­те­рес­ную но­вость, поль­зо­ва­тель на­чи­на­ет рас­сы­лать её своим дру­зьям, те своим и так далее, то в итоге но­вость узна­ют все поль­зо­ва­те­ли. До­ка­жи­те, что ад­ми­ни­стра­ция сети может раз­бить поль­зо­ва­те­лей на груп­пы так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие усло­вия:

1)  каж­дый со­сто­ит ровно в одной груп­пе;

2)  каж­дая груп­па связ­на в ука­зан­ном выше смыс­ле;

3)  одна из групп со­дер­жит от 1 до 100 чле­нов, а каж­дая из осталь­ных от 100 до 900 чле­нов.


В графе 400 вер­шин. Для лю­бо­го ребра AB назовём ка­ра­ка­ти­цей набор всех ребер, вы­хо­дя­щих из вер­шин A и B (вклю­чая само ребро AB). На каж­дом ребре графа стоит число 1 или −1. Из­вест­но, что сумма чисел на реб­рах любой ка­ра­ка­ти­цы боль­ше или равна 1. До­ка­жи­те, что сумма чисел на всех реб­рах графа не мень­ше чем −10000.


В стра­не 100 го­ро­дов, между ними дей­ству­ет не­сколь­ко бес­по­са­доч­ных авиа­ли­ний так, что от лю­бо­го го­ро­да до лю­бо­го можно до­брать­ся, воз­мож­но, с пе­ре­сад­ка­ми. Для каж­дой пары го­ро­дов вы­чис­ли­ли наи­мень­шее ко­ли­че­ство перелётов, не­об­хо­ди­мых чтобы до­брать­ся от од­но­го до дру­го­го. Назовём транс­порт­ной за­труднённо­стью стра­ны сумму квад­ра­тов этих 4950 чисел. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать транс­порт­ная за­труднённость? Ответ дол­жен быть дан в виде числа (в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния).


Развернуть

1.2 Пусть схема ост­ро­вов и ко­ри­до­ров устро­е­на так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. До­ка­жи­те, что при любом на­чаль­ном рас­се­ле­нии ко­ло­ний су­ще­ству­ет спо­соб ор­га­ни­зо­вать ми­гра­ции так, что по ито­гам менее чем 1000 ми­гра­ций на ост­ро­ве A по­явит­ся ко­ло­ния. При ре­ше­нии этого пунк­та можно без до­ка­за­тель­ства поль­зо­вать­ся ре­зуль­та­том пунк­та 1.

1

1.1 До­ка­жи­те, что в любой мо­мент может про­изой­ти ми­гра­ция.


Не­об­хо­ди­мо со­еди­нить в одну элек­три­че­скую сеть че­ты­ре све­тиль­ни­ка, на­хо­дя­щих­ся в вер­ши­нах квад­ра­та со сто­ро­ной 4 метра. Хва­тит ли на это 11 мет­ров про­во­да? Дру­ги­ми сло­ва­ми, су­ще­ству­ет ли связ­ный граф, со­дер­жа­щий вер­ши­ны квад­ра­та со сто­ро­ной 4, сумма длин ребер ко­то­ро­го не пре­вос­хо­дит 11?


В од­но­кру­го­вом хок­кей­ном тур­ни­ре при­ни­ма­ло уча­стие 2016 ко­манд. По ре­гла­мен­ту тур­ни­ра за по­бе­ду да­ет­ся 3 очка, за по­ра­же­ние 0 очков, а в слу­чае ни­чьей иг­ра­ет­ся до­пол­ни­тель­ное время, по­бе­ди­тель ко­то­ро­го по­лу­ча­ет 2 очка, а про­иг­рав­ший  — 1 очко. По окон­ча­нии тур­ни­ра Оста­пу Бен­де­ру со­об­щи­ли ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных каж­дой ко­ман­дой, на ос­но­ва­нии чего он сде­лал вывод, что не менее N мат­чей за­кон­чи­лись до­пол­ни­тель­ным вре­ме­нем. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние N.


С ле­во­го бе­ре­га реки на пра­вый с по­мо­щью одной лодки пе­ре­пра­ви­лись N ту­зем­цев, каж­дый раз пла­вая на­пра­во вдво­ем, а об­рат­но  — в оди­ноч­ку. Из­на­чаль­но каж­дый знал по од­но­му анек­до­ту, каж­дый  — свой. На бе­ре­гах они анек­до­тов не рас­ска­зы­ва­ли, но в лодке каж­дый рас­ска­зы­вал по­пут­чи­ку все из­вест­ные ему на дан­ный мо­мент анек­до­ты. Для каж­до­го на­ту­раль­но­го k най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние N, при ко­то­ром могло слу­чить­ся так, что в конце каж­дый ту­зе­мец знал, кроме сво­е­го, еще не менее чем k анек­до­тов.


В не­ко­то­рой стра­не есть 100 го­ро­дов, ко­то­рые свя­за­ны такой сетью дорог, что из лю­бо­го го­ро­да в любой дру­гой можно про­ехать толь­ко одним спо­со­бом без раз­во­ро­тов. Схема сети дорог из­вест­на, раз­вил­ки и пе­ре­крест­ки сети не­обя­за­тель­но яв­ля­ют­ся го­ро­да­ми, вся­кая ту­пи­ко­вая ветвь сети обя­за­тель­но за­кан­чи­ва­ет­ся го­ро­дом. На­ви­га­тор может из­ме­рить длину пути по этой сети между лю­бы­ми двумя го­ро­да­ми. Можно ли за 100 таких из­ме­ре­ний га­ран­ти­ро­ван­но опре­де­лить длину всей сети дорог?


Че­ты­ре кро­то­вые норы A, B, C, D по­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны тремя тон­не­ля­ми.

Каж­дую ми­ну­ту крот по тон­не­лю пе­ре­бе­га­ет в одну из со­сед­них нор. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми крот может до­брать­ся из норы A в C за 30 минут?


Аналоги к заданию № 4938: 4948 4998 5008 ... Все


Че­ты­ре кро­то­вые норы A, B, C, D по­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны тремя тон­не­ля­ми. Каж­дую ми­ну­ту крот по тон­не­лю пе­ре­бе­га­ет в одну из со­сед­них нор. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми крот может до­брать­ся из норы A в C за 28 минут?


Аналоги к заданию № 4938: 4948 4998 5008 ... Все

Всего: 65    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–65