Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 360, а сумма расстояний от этих же двадцати чисел до числа a2равна 345. Найдите все возможные значения a.
Решение. Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, 
..., 
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
то сумма расстояний от него до данных двадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 19, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 19, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 19 и т. д.). Следовательно, числа a и 
лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой
Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.
1) Оба числа a и лежат справа от отрезка 
Тогда
Дискриминант квадратного уравнения отрицателен, поэтому решений нет.
2) Оба числа a и лежат слева от отрезка Тогда
Убеждаемся, что при обоих значениях a число k является натуральным 
следовательно, оба значения a подходят.
3) Число a лежит слева, а 
справа от отрезка Тогда
Тогда из первого уравнения системы следует, что k — иррациональное число, что не удовлетворяет условию задачи.
4) Число a лежит справа, а — слева от отрезка Очевидно, этот случай не подходит, так как если 
то оба числа a и лежат на отрезке 
но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число. Итак, возможны два случая: 
и 
Ответ: 
Критерии проверки:Указано, что числа a и лежат вне отрезка между данными последовательными числами — 1 балл.
Получена формула суммы расстояний от чисел a и a2 до данных последовательных натуральных чисел — 1 балл ИЛИ найдены расстояния от a и a2 до ближайших последовательных чисел — 1 6алл. (Этот балл ставится при условии, что выполнен предыдущий пункт.)
Случай 
не разобран — баллы не снимаются.
При наличии отбора:
а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и (оба числа справа от отрезка; оба слева от отрезка; справа от отрезка, a слева от отрезка) — 1 балл;
б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a2 — 2 6алла;
в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a2 — 4 балла.
При отсутствии отбора:
а) рассмотрен 1 случай расположения чисел a и — 0 6аллов;
б) рассмотрены 2 случая расположения чисел a и a2 — 1 балл;
в) рассмотрены 3 случая расположения чисел a и a2 — 2 6алла.
Количество слагаемых в формуле суммы расстояний отличается от верного на 1 — снять 2 балла или с общей суммы.
Ответ: 
