РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1254 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства комбинированные, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Решите неравенство

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 20 минус \mid x\mid , знаменатель: x минус 3 конец дроби конец аргумента больше x.$

Решение.

Так ОДЗ неравенства определяется условием

$дробь: числитель: 20 минус |x|, знаменатель: x минус 3 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 20 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 20 плюс x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 3 конец дроби больше или равно 0 .$

С помощью метода интервалов получаем $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 20 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3 ; 20 правая квадратная скобка .$ На промежутке $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 20 правая квадратная скобка$ левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому оно выполняется.

Рассмотрим промежуток $x принадлежит левая круглая скобка 3; 20 правая квадратная скобка .$ Тогда обе части неравенства неотрицательны, и их можно возвести в квадрат:

$дробь: числитель: 20 минус |x|, знаменатель: x минус 3 конец дроби больше x в квадрате .$

Так как рассматриваются значения x, большие 3, то знаменатель дроби положителен  — можно умножить на него обе части неравенства. Кроме того, модуль можно опустить. Получаем

$20 минус x больше x в квадрате левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка равносильно x в кубе минус 3 x в квадрате плюс x минус 20 меньше 0 .$

Одним из корней многочлена в левой части является $x=4 .$ Выделяем множитель $x минус 4,$ и тогда неравенство принимает вид

$левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 5 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда $x меньше 4 .$ Значит, в этом случае $3 меньше x меньше 4$ и окончательно $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 20 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3 ; 4 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 20 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

За каждый из случаев $0 больше или равно x$ и $x меньше 0$  — по 3 балла.

Неэквивалентные преобразование — 0 баллов за задачу или рассматриваемый случай.

Ответ отличается от верного конечным числом точек — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 1247: 1254 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе