РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1497 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Решите уравнение

$дробь: числитель: \mid синус x\mid минус синус 3x, знаменатель: косинус x косинус 2x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение.

Решение. Возможны два случая.

а)  Когда $синус x больше или равно 0.$ Тогда

$дробь: числитель: синус x минус синус 3 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно дробь: числитель: минус 2 синус x косинус 2 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,$ $дробь: числитель: синус x минус синус 3 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно дробь: числитель: минус 2 синус x косинус 2 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,$

где $k принадлежит Z.$ Учитывая условие, получаем $x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 k Пи ,$ $k принадлежит Z.$

б)  Когда $синус x меньше 0.$ Тогда

$дробь: числитель: минус синус x минус синус 3 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно дробь: числитель: минус 2 косинус x синус 2 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно тангенс 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: минус синус x минус синус 3 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно дробь: числитель: минус 2 косинус x синус 2 x, знаменатель: косинус x косинус 2 x конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно тангенс 2 x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$

где $k принадлежит Z.$ Синус отрицателен при $x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 k Пи ,$ и при $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 k Пи ,$ $k принадлежит Z.$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 k Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 k Пи : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 2 балла.

Разобраны оба случая раскрытия модуля — 5 баллов.

Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.

Аналоги к заданию № 1491: 1497 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе