Можно ли так расставить в таблице 600 × 600 числа 1 и −1, что модуль суммы чисел во всей таблице меньше 90 000, а в каждом из прямоугольников 4 × 6 и 6 × 4 модуль суммы чисел больше 4?
Поскольку сумма чисел в прямоугольнике 4 × 6 четна, если ее модуль больше четырех, то он хотя бы шесть. Предположим, что такая расстановка нашлась. Заметим, что в ней либо нет ни одной строки, состоящей из одних +1, либо нет ни одного столбца, состоящего из одних −1 (если есть и такая строка, и такой столбец, то в их общей клетке с одной стороны должна стоять +1, с другой −1). Разберем первый случай (второй разбирается аналогично). Рассмотрим прямоугольник 4 × 6, расположенный в левом верхнем углу. Модуль суммы чисел в нем хотя бы 6. Сдвинем этот прямоугольник на одну клетку вправо. В нем модуль суммы чисел также хотя бы 6. Поскольку по сравнению с первым прямоугольником у него одна четверка чисел заменена на другую, суммы чисел в прямоугольниках отличаются не более, чем на 8. Но тогда они должны быть одного знака, ибо +6 и −6 отличаются больше, чем на 8. Сдвинем прямоугольник еще на одну клетку вправо и снова получим, что сумма чисел в нем того же знака, что и в предыдущем, и т. д.. Таким образом, мы установим, что все суммы чисел в сдвинутых вправо прямоугольниках одного знака. Тогда модуль суммы чисел в четырех верхних строках не меньше, чем 
поскольку эти строки разбиваются на 100 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые четыре соседние строки.
Рассмотрим четыре верхние строки. Модуль суммы чисел в них не меньше, чем 600. Модуль суммы чисел в строках со второй по пятую также не меньше, чем 600. Эти суммы должны быть одного знака, поскольку в противном случае они различаются не менее, чем на 1200. С другой стороны, они отличаются не больше, чем на разность сумм чисел в первой и пятой строке, которая не больше, чем 1200, причем равенство достигается только тогда, когда в одной из строк стоят исключительно +1, что невозможно. Таким образом, сумма чисел в каждых трех строках также одного знака и не меньше 600 по модулю. Следовательно, во всей таблице модуль суммы чисел не меньше, чем 
Противоречие.
Ответ: нет.
Наверх