РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3118 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства комбинированные, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Метод интервалов, Методы алгебры. Рационализация неравенств

Решите неравенство

$дробь: числитель: левая круглая скобка 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус логарифм по основанию x 3 правая круглая скобка минус 2,5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x 3 плюс 1 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x 3 плюс 8 конец аргумента конец дроби больше дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус логарифм по основанию x 3 правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x 3 плюс 1 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x 3 плюс 8 конец аргумента минус 3 конец дроби .$

Решение.

Сделаем замену переменного $y= логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3,$ получаем

$дробь: числитель: левая круглая скобка 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка минус 2,5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: y плюс 1 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента конец дроби больше дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 y плюс 1 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: y плюс 2 конец аргумента минус 3 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента минус 3 конец дроби правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: y плюс 1 конец аргумента конец аргумента больше 0.$

Найдем ОД3: $y больше или равно минус 8,$ $y не равно q 1$ и

$2 минус корень из: начало аргумента: y плюс 1 конец аргумента больше или равно 0 \Rightarrow минус 1 меньше или равно y меньше или равно 3.$

Поскольку неравенство строгое, то при $минус 1 меньше или равно y меньше 3$ и $y не равно q 1,$ неравенство равносильно следующему

$левая круглая скобка минус y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 1 плюс корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента минус 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0,$

или

$левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента минус 16, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: y плюс 8 конец аргумента минус 3 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка меньше 0,$

или

$дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 8 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0,$

или $y меньше 8.$ Таким образом, $минус 1 меньше или равно y меньше минус 1$ или $1 меньше y меньше 3.$ Производя обратную замену, получаем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 больше или равно минус 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 меньше 3, логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 1 минус 3 логарифм по основанию 3 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше 0 , x не равно q 3 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x больше 0, логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, конец системы . совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше 0, логарифм по основанию 3 x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , конец совокупности . x не равно 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка , x принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка , x не равно 3 конец системы . равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 больше или равно минус 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 меньше 3, логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 3 не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 1 минус 3 логарифм по основанию 3 x , знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше 0 , x не равно q 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x больше 0, логарифм по основанию 3 x меньше или равно минус 1, конец системы . совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше 0, логарифм по основанию 3 x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , конец совокупности . x не равно 3 конец совокупности . равносильно система выражений x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка , x принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка , x не равно 3 конец системы . равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 3016: 3118 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе