Вовочка складывает трехзначные числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы 248 + 208 он получил бы значение 4416.
а) В скольких случаях Вовочка получит правильный ответ, складывая всевозможные пары трехзначных чисел? (Если некоторые два числа Вовочка уже складывал ранее в другом порядке, то он этого не замечает.)
б) Найдите наименьшую возможную разность между верным ответом и ответом Вовочки для всех остальных трехзначных чисел.
Решение. а) Вовочка получит правильный ответ в том и только том случае, если при сложении последних и предпоследних цифр получится также цифра, т. е. не будет переноса разряда. Подсчитаем, для скольких пар цифр их сумма не превосходит 9. Если одна цифра равна 0, то для другой имеем 10 вариантов (любая цифра); если одна цифра равна 1, то для другой есть 9 вариантов (от 0 до 8), и т. д.: если одна цифра равна 9, то для другой остаётся лишь 1 вариант (равна 0). Итого вариантов
Первая цифра каждого из складываемых трёхзначных чисел может быть любой от 1 до 9. Таким образом, всего получаем
вариантов.
При этом одинаковые пары чисел, для которых Вовочка получит правильный ответ, учтены дважды. Таких пар всего 
Следовательно, правильный ответ Вовочка получит в
случаях.
б) Пусть 
и 
— складываемые Вовочкой числа 
так как числа трёхзначны), их сумма равна
Если Вовочка получил неправильный ответ, то при сложении последних или предпоследних цифр (или в обоих случаях) сумма была двузначной, т. е. возможны три случая.
1) Если 
и 
то Вовочка получит ответ
а разность между верным ответом и ответом Вовочки равна 
2) Если 
и 
то ответ Вовочки равен
что отличается от верного ответа на 
3) Если и 
то Вовочка получит ответ
в этом случае разность равна 
Итак, в каждом из случаев разность ответов будет не меньше, чем 
Разность, равная 1800, получится, например, при сложении чисел 105 и 105: Вовочка получит ответ 2010 при верном ответе 210.
Ответ: а) 244 620; б) 1800.
