РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4738 Добавить в вариант

Олимпиада Газпром, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Найти количество корней уравнения

$5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4 косинус x плюс 1, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка минус 4=5 в степени { дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби ,$

принадлежащих отрезку $левая квадратная скобка минус Пи , дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Запишем ОДЗ:

$3 косинус x плюс 2 не равно q 0 равносильно x не равно q \pm арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n, n принадлежит Z .$

Выполним преобразования

$5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4 косинус x плюс 1, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 3 косинус x плюс 2 правая круглая скобка плюс косинус x минус 1, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4 косинус x плюс 1, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 3 косинус x плюс 2 правая круглая скобка плюс косинус x минус 1, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =$
$=5 в степени левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка =5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Пусть $t=5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ при $t больше 0.$ Тогда уравнение примет вид

$5 t в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 4=t равносильно t в квадрате плюс 4 t минус 5=0 равносильно совокупность выражений t_1= минус 5,t_2=1. конец совокупности .$

Корень $t_1= минус 5$ не подходит, так как $t больше 0.$ Тогда,

$1=5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: косинус x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 1 минус косинус x, знаменатель: 3 косинус x плюс 2 конец дроби =0 равносильно косинус x=1 равносильно x=2 Пи k, k принадлежит Z .$

Тогда, промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ учитывая ОДЗ, принадлежат корни: 0,2π, 4π, 6π, то есть промежутку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ принадлежит 4 корня.

Ответ: 4.

Аналоги к заданию № 4704: 4738 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе