Назовём число хорошим, если все его цифры различны и оно делится на 37. Найдите количество хороших натуральных чисел, меньших 1000.
Решение.
Всего 27 не более, чем трёхзначных чисел делится на 37. Среди них есть 9 чисел, состоящих из одинаковых цифр: 111, ... , 999. Остальные 16 чисел состоят из различных цифр. Это можно доказать перебором, но лучше так: пусть в числе, делящемся на 37, две одинаковые цифры, например, вторая и третья. Тогда это число имеет вид Вычтем из него число делящееся на 37. Получим, что число делится на 37, чего быть не может. Остальные случаи равенства цифр рассматриваются аналогично.
Ответ: 18.
Критерии проверки:
Отсутствует внятное объяснение, не может быть числа, делящегося на 37, в котором две цифры одинаковые, а третья другая — 1 балл.
(Если просто выписаны все делящиеся на 37 чисел, это считается внятным объяснением).
Вычтем из него число 
делящееся на 37. Получим, что число 
делится на 37, чего быть не может. Остальные случаи равенства цифр рассматриваются аналогично.