В описанном пятиугольнике ABCDE даны длины сторон: AB = 11, BC = 9, CD = 10, DE = 14 и EA = 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треуголньиков CME и BME.
Решение.
Обозначим точку касания вписанной окружности и стороны BC за X. Тогда точка M лежит на отрезке EX. Это следует, например, из теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного шестиугольника ABXCDE. Тогда
поскольку
Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине A за a, к вершине B — за b и т. д., а полупериметр пятиугольника за p. Тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Только ответ — 0 баллов.
За арифметические ошибки, несущественно влияющие на ход решения, снимать 0,5 балаа за одну ошибку, снимать 1 балл за две ошибки или более.
Теорему Брианшона принимать без доказательства, если она корректно сформулирована. Если точки просто оказываются на одной прямой без какого-то внятного доказательства, оценивать оставшуюся часть решения исходя максимум из 2 баллов.
Доказательство того, что указанная конфигурация существует, также не требуется.
